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<title>Muhammad al-Baghdadi's Libro del modo di dividere le superficie (1570): A Basic TEI Edition</title>
<author>Galileo’s Library Digitization Project</author>
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<orgName>the TEI Archiving, Publishing, and Access Service (TAPAS)</orgName>
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<addrLine>360 Huntington Avenue</addrLine>
<addrLine>Northeastern University</addrLine>
<addrLine>Boston, MA 02115</addrLine>
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<licence>Creative Commons BY-NC-SA</licence>
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<note>Based on the copy digitized by Google Books at the University of Torino library.</note>
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<title>Libro DEL MODO DI DIVIDERE LE SVPERFICIE ATTRIBVITO - À MACHOMETO BAGDEDINO . Mandato in luce la prima volta da M. Giouanni Dee da Londra, e da M. Federico Commandino da Vrbino. Con vn breue trattato intorno alla stessa materia del medesimo M. Federico Tradotti di latino in volgare da Fuluio Viani de’ Malatesti da Montefiore ACACEMICO VRBINATE. E nouamente dati in luce. In Pesaro del MDLXX. Presso Girolamo Concordia con licenza de’ Superiori.</title>
<author>Bagdadi, Muhammad</author>
<pubPlace>Pesaro</pubPlace>
<publisher>Concordia, Girolamo</publisher>
<date>1570</date>.
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<p>This TEI edition is part of a project to create accurate, machine-readable versions of books known to have been in the library of Galileo Galilei (1563-1642).</p>
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<p>This work was chosen to maintain a balance in the corpus of works by Galileo, his opponents, and authors not usually studied in the history of science.</p>
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<editorialDecl>
<correction>
<p>Lists of errata have not been incorporated into the text. Typos have not been corrected.</p>
</correction>
<normalization>
<p>The letters u and v, often interchangeable in early Italian books, are reproduced as found or as interpreted by the OCR algorithm. Punctuation has been maintained. The goal is an unedited late Renaissance text for study.</p>
</normalization>
<quotation>
<p></p>
</quotation>
<hyphenation>
<p>Hyphenation has been maintained unless it pertains to a line break (see "segmentation").</p>
</hyphenation>
<segmentation>
<p>Word breaks across lines have not been maintained. The word appears in the line in which the first letters were printed. Words broken across pages appear on the page on which the first letters appear. Catch words are not included.</p>
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<titlePage>
<lb/>Libro
<lb/>DEL MODO DI DIVIDERE
<lb/>LE SVPERFICIE ATTRIBVITO
<lb/>- À MACHOMENTO BAGDEDINO .
<lb/>Mandato in luce la prima volta da M. Giouanni Dee da
<lb/>Londra, e da M. Federico Commandino
<lb/> da Vrbino.
<lb/> Con vn breue trattato intorno alla stessa materia
<lb/>del medesimo M. Federico
<lb/>Tradotti di latino in volgare da Fuluio Viani
<lb/>de’ Malatesti da Montefiore
<lb/>ACACEMICO VRBINATE.
<lb/>E nouamente dati in luce.
<lb/>In Pesaro del MDLXX.
<lb/>Presso Girolamo Concordia con licenza de’ Superiori.
</titlePage>
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<body>
<pb n= "unnumbered i recto"/>
<lb/>ALL’ILLVSTRISSIMO
<lb/>ET ECCELLENTISSIM O
<lb/>SIGNORE IL SIG.
<lb/>FRANCESCO MARIA II.
<lb/>PRINCIPE D’VRBINO.
<lb/>QVELL’ operetta medesima
<lb/>Illustrissimo, & Eccellentissimo
<lb/>Principe, che alli giorni passati
<lb/>fù presentata da M. Federico
<lb/>Commandino à V. E; se ne viene
<lb/>di nuouo à trouarla, sperando
<lb/>di hauere à piacerle ancora
<lb/>la seconda volta, tutto che sia
<lb/>per fauellar seco in differente
<lb/>maniera. Pregarei V. E. à voler
<lb/>accettarla, e fauorirla con la solita benignità sua; s'io
<lb/>non credessi, che conoscendo ella molto bene per la
<lb/>cognitione c'hà delle Mathematiche il merito, e la bellezza
<lb/>dell'opera; non sia se non per hauer caro, che quel bene,
<lb/>ilquale era prima d'alcuni pochi, hora si sia fatto
<lb/>maggior bene communicandosi à molti: e che come tale se ne
<lb/>habbia à gire per le mani de’studiosi. Or persuadendomi
<lb/>adunque che ella se è piaciuta à V. E. nell'habito latino,
<lb/>non habbia à dispiacerle in questo nostro vulgare; poiche
<pb n= "unnumbered i verso"/>
<lb/>in habito diuerso da quello di prima è la medesima che
<lb/>prima; vengo solo à pregarla che non si sdegni di accettare
<lb/>insieme con essa vn picciolo tributo dell'affetion grande
<lb/>ch'io porto, & hò portato sempre à lei, & à sua casa
<lb/>Illustrissima, & à voler tener questa per vn minimo segno
<lb/>della deuotion singolare verso lei dell'animo mio. Non la
<lb/>scio di supplicarla ancora con non minore humiltà, che
<lb/>non le dispiaccia ch’io mi sia procurato in questa prima
<lb/>fatica mia riuerente protettione dal nome suo; atteso che
<lb/>quello à che non giungano i meriti miei; arriuano, e passano
<lb/>la benignità di V. E., e la mia affettione: e arriuano, con questo
<lb/> baciandole humilmente le mani prego nostro signore
<lb/>che doni prospero adempimento à’ nobili - suoi desiderii.-
<lb/>Di V. E. Illustrissima.
<lb/>Humile e deuoto seruitore Fuluio Viani
<lb/> de’ Malatesti.
<pb n= "unnumbered ii recto"/>
<lb/>A M. FEDERICO COMMANDINO
<lb/>ECCELLENTISSIMO
<lb/>MATHEMATICO.
<lb/>HAVENDOMI io molt'anni
<lb/>sono, presa fatica Dottissimo M.
<lb/>Federico mio di voler mantener
<lb/>viui nelle mani de gli huomini,
<lb/>in quel maggior numero ch'io
<lb/>potessi, i chiarissimi scritti lasciatà
<lb/>ci da’ maggiori nostri intorno ad
<lb/>ogni genere della più scelta filo
<lb/>sofia : à fine che huomini cosi
<lb/>grandi non rimanessero spogliati
<lb/>della gloria che si deue loro; ò noi restassimo priui più longo
<lb/> tempo de i copiosissimi frutti di così fatti libri : Hauendo
<lb/>io dico posto, in questo lo studio mio; frà gli altri antichissimi
<lb/>scritti de’ filosofi mi capitò dopò molt'anni alle mani questo
<lb/>libretto, scritto inuero in vn carattere troppo deforme, & à
<lb/>pena legibile per la vecchiezza. Mà feci per leggerlo gli
<lb/>occhi di Linceo, e con spessissime volte considerarlo, e farui pratica
<lb/>sù, mi si fece facile il leggerlo. Onde certificatomi meglio
<lb/>in questo modo della dignità & eccellenza del libro, desiderauo
<lb/> grandemente di farne partecipi quanto prima gli studiosi
<lb/>di queste filosofia : e mentre à punto io mi stauo sù questo
<lb/>pensiero; voi Eccellentissimo Commandino mio in questa età nostra
<lb/>mi sete parso degno più d'ogni altro di goderui queste nostre
<lb/>fatiche, poi che voi ancora hauete ritornati in vita parte de
<lb/>dotissimi scritti di Archimede, e di Tolomeo ch’homai veniuano
<pb n= "unnumbered ii verso"/>
<lb/>à meno, e gli hauete mandati al cospetto de gli huomini
<lb/>honore uolissimamente vestiti. Questo libretto adunque come
<lb/>perpetuo pegno ancora dell'affettion singulare ch'io vi porto,
<lb/>raccomando alla cura, e fede vostra; e voglio pregarui, e
<lb/>scongiurarui, à non lasciar vscir fuore questa mostra commune
<lb/>fatica senza quell'ornamento, co'l quale sete solito à mandar
<lb/>gli altri in luce. Anzi pure tengo ferma speranza (se conosco
<lb/>bene e voi, & il valor vostro) che accrescerete di modo questa
<lb/> materia, che ne anche la lasciarete fermare sull'area pentagonale:
<lb/>ne comporterete molto, che i sodi per i piani siano priui
<lb/>di simili settioni. Queste per se stesse purche voi vogliate
<lb/>puntarui vn poco, passeranno alle spetie delle superficie che
<lb/>vi restano : mà per applicarle à i sodi, si ricercherà poi la
<lb/>vostra soda eruditione, e singolar industria nelle mathematiche.
<lb/>Mà questo uoglio che sappiate del nome dell'Auttore .
<lb/>Nell'originale istesso antichissimo di doue lo cauai era scritto
<lb/>con lettere à Cifra (come dicono) il nome di MACHOMETO
<lb/>BAGDEDINO, ilquale non son ben chiaro anchora ò se
<lb/>sia stato quell'Albatenio, il quale nelle cose di astronomia suo
<lb/>le essere citato spesse uolte dal Copernico come testimonio
<lb/>d’authorità; ò pure quel Machometo che si dice essere stato di
<lb/>scepolo di Alvindo, il quale dicono ancora hauer scritto non
<lb/>sò che intorno all'arte del dimostrare; ò più tosto sia da tener
<lb/>si questo libretto per opera del nostro Euchide Megarese, tutti
<lb/> i libri del quale già gran tempo hà, furono tradotti dalla
<lb/>lingua greca nella fauella Siria, & Arabica: & percio essendosi
<lb/>trouato pressò gli Arabi, ò i Siri senza il titolo suo,
<lb/>facilmente da gli. Amanuesi serà stato attribuito à Machometto
<lb/>eccellente Mathematico frà loro. Ilche posso io prouare
<lb/>per molti testimonii essere spesse volte auenuto in molti scritti
<lb/> de gli antichi : e fanno alcuni amici mei (per poruere vno
<lb/>manzi frà molti) che io per questo rispetto medesimo hò
<lb/>restituito ad Anassagora quell'antichissimo, & Eccellentissimo
<lb/> Filososo vn libretto raro intorno alla filasofia occulta, e
<pb n= "unnumbered iii recto"/>
<lb/>mistica, ilquale sotto il nome d'Aristotele se n’era andato gia
<lb/>molti secoli per le mani delle genti: e questo per certissimi
<lb/>argomenti. In oltre da’scritti di nissun Machometto che habbiamo,
<lb/>hauemo anchora potuto conoscere tanta acutezza, quanta
<lb/> per tutto si vede apertam. in questi problemi. Aggiungasi
<lb/> che Euclide medesimo scrisse vn libro delle diuisioni, come
<lb/> si può chiaramente conoscere da Proclo ne’ comentari sopra
<lb/>il primo de suoi Elementi: ne sapemo che altro ueruno vene
<lb/>ne sia sotto questo titolo, ne potemo ritrouarne alcuno che più
<lb/>ragioneuolmente per l'eccellenza del discorere, si possa ascriuere
<lb/>ad Euclide. Finalmente mi ricordo hauer leto in vn certo
<lb/>fragmento antichissimo della facoltà di geometria, vn luogo
<lb/> citato con le parole formali di questo libretto, come di opera
<lb/> certissima di Euclide. Or breuemente quanto il tempo
<lb/>comportaua hò raccolte insieme queste congetture mie, lequali
<lb/>desidero c'habbiamo tanto di peso, quanto in se stesse abbracciano
<lb/>di verità : E se alcuno mi si voglia opporre con dire
<lb/>quel tittolo Delle diuisioni non dinotare settioni di grandezze
<lb/>nelle parti loro; ma diuisioni di generi per le loro differenze
<lb/>nelle spetie loro; come delle diuisioni methodiche de’punti, del le
<lb/> linee, de gli angoli, delle figure, e simili, quali io in numero
<lb/>maggiore di 500. hò dato fuora in vn mio trattato dell'eccelenza,
<lb/>e certezza delle mathematiche; confesso certo questo
<lb/>ancora potersi dire probabilmente: mà però quanto veramente
<lb/>si possa dire, non essere per anchora più noto à me, che
<lb/>si sia chiara à lui la mia congettura. Mà siasi stato qual si uoglia
<lb/>quel libro delle diuisioni d'Euclide: questo in vero è vn libro
<lb/>tale; ilquale e può essere vtilissimo à gli studii di molti, e che à
<lb/>qualsiuoglia nobilissimo Mathematico de gli anitichi può
<lb/>recare assai di gloria, e di honore per l'acutezza grandissima
<lb/>dell'inuentione, e per l'essamine acuratissimo di tutti i casi in
<lb/>ciascheduno de’ problemi: e tanto basti intorno à ciò.
<lb/>À Voi mò volto tutto il mio parlare, col quale intendo di
<lb/>pregarui strettissimamente di questo, che è che vogliate mandar
<pb n= "unnumbered iii verso"/>
<lb/>fuore con quella maggior diligenza che viserà possibile le
<lb/>vostre grandì & vtiliss, fatiche le quale hieri cortesissimamente
<lb/>mi lasciaste vedere nel vrno studio. Perciòche così vi spianere
<lb/>te vna ampissima strada ad vna perpetua celebratione del nome
<lb/> uostro, come di persona, che in così pochi anni, cosi bene, cosi
<lb/>politamemte, e tanti, e cosi proprii libri habbia mandati in luce: e
<lb/>che habbia solo nell'età nostra ornato ciascuno de’ Principi
<lb/>Eccelentiss. delle facoltà mathematiche Archimede, Tolomeo,
<lb/>& Appollonio, del loro douuto splendore. Et in questo modo
<lb/>restituerete à i studi mathematici quasi uenuti à meno una nuoua,
<lb/> e merauigliosa allegrezza: e cosi farete me, che vi sono
<lb/>in molti modi obligatissimo, tutto vostro.
<lb/> Quanto prima mò serà vscito questo libretto dalle stampe, ne
<lb/>mandarete vno, ò duo al Sig. Guglielmo Pykeringo huomo
<lb/>nobiliss. & intendente delle buone arti, e spetialmente delle
<lb/>mathematiche, Caualier speron d'oro, mio amico grandis. e patron
<lb/>sigulare: ilquale se ne viue in londra d'Inghilterra. perciòche
<lb/>di là facilmente serà drizzato poi alla nostra libreria. -
<lb/> Or la conditione del viaggio c’hò da fare vuol ch'io vi
<lb/>lasci: à fine che io non sia costretto poi à soferire l'ingiuria
<lb/>maggiore di questi caldi, c’hora ci si spargono intorno, prima che io
<lb/>di qui possa ricouerarmi nell'ombra di Roma. State sano
<lb/>adunque honore de’ Mathematici, state sano gentiliss. Commandino
<lb/>mio, si come io prego con ogni sforzo mio nostro signore,
<lb/>che voglia co’l singular fauor suo, condurre à desiderato fine
<lb/>le nobili vostre fatiche. - Da Vrbino.
<lb/>Affetionatissimo vostro Giouanni Dee Londrese.
<lb/>Al lettore.
<lb/>Io hò da auertiti ò lettore. che l’authore ilquale hora ti presentiamo,
<lb/>si è serui: o dell’Euclide tradotto nella lingua arabica fatto poi
<lb/>latino dal Campano. E tanto hò voluto dirti à fine che nel cercar le
<lb/>propositioni citate da lui, non t’affannasi alle volte in darno. stà sano
<lb/>Errori da emendarsi. A car. 2.fac 2.versi. 12 doue dice concorrer
<lb/>e. leggi concorrere è. C.7.f. 2.v. 23. ADE. leua il punto. C.22.
<lb/>f. 2.v.t. EQ leggi FQ. C. 25.f.1.v.9. ABCF. leggi ABCE. C.27.
<lb/>f.2.v. 11. FH, leggi FK, C. 42.f.t.v. 25 BL, leggi M.L. f.2, v.9. leggi
<lb/>ne'punti KM.
<pb n= "1 recto"/>
<lb/>LIВRO DEL МODO
<lb/>DI DIVIDERE LE
<lb/>SVPERFICIE.
<lb/>PROPOSITION 1. PROBLEMA 1.
<lb/>Con vna linea tirata da vn’angolo d'un triangolo,
<lb/> diuidere quel triangolo secondo
<lb/>vna data proportione.
<lb/>Sia il triangolo A B C: e con vna linea la qual cada dall'
<lb/>angolo A, bisogni diuidere il triangolo ABC, secondo
<lb/>la proportione della E alla
<lb/>F. Perciòche diuiderò la linea-
<lb/> B C nel punto D, secondo
<lb/>la proportione della E alla
<lb/>F, come ne insegna la 12. del
<lb/>sesto di Euclide: e tiratasi la linea
<lb/> A D, si manifesta il
<lb/>proposito, per la prima del sesto
<lb/>del medesimo.
<lb/>PROPOSITION II. PROBLEMA II.
<lb/>Con vna linea tirata da punto assegnato
<lb/>in vn lato d’un dato triangolo, dividere il
<lb/>detto triangolo secondo vna data proportione.
<pb n= "1 verso"/>
<lb/>Sia il triangolo A B C : nel lato BC del quale notisi
<lb/>il punto D: di doue bisogna tirar la linea che diuida il
<lb/>triangolo secondola proportione della M alla N: e con
<lb/>giungasi la DA. Da quell'estremo adunque del lato BC,
<lb/>verso ilquale vorrò hauer diuidendo
<lb/> la conseguente in corrispondenze,
<lb/> che per essempio sia il punto C; -
<lb/>drizzarò vna linea equidistante alla
<lb/> linea D A, fin tanto che concorra
<lb/> nel punto E con la linea B A
<lb/>alungatasi: e che habbiano à concorrer
<lb/> e chiaro per la 29. e 17. del
<lb/>primo di Euclide. serà adunque la proportione della M
<lb/>alla N, ò vguale alla proportione della BA alla A E,
<lb/>ò maggiore, ò minore. Sia prima eguale. Serà adunque per la
<lb/>prima del sesto la proportione del triangolo BAD al
<lb/>triangolo A D E; com’e la proportione della M alla N.
<lb/>Mà per la 37. del primo il triangolo A D E, è vguale al
<lb/>triangolo A D C. adunque per la 7. del quinto la proportione
<lb/> del triangolo A B D al triangolo A D C; è come
<lb/>la proportione della M alla N. il che bisognaua prouarsi•
<lb/>Secondo caso. Sia mò la proportione della M alla N minor
<lb/>della proportione della linea BA
<lb/>alla linea AE. Per tanto diuerò la linea
<lb/>BE secondo la proportione della M alla
<lb/> N. Caderà la diuisione adunque
<lb/>frà i punti B & A, per l'ottaua del
<lb/>quinto. Cada nel punto F, e tirisi
<lb/>la linea D F: e questa dico io diuidere
<lb/>il triangolo secondo la portione
<lb/>della M. alla N. La ragione. Perciòche tiratasi la linea
<lb/>D E serà per la 37. del primo il triangolo A D E, eguale
<lb/>al triangolo ADC. Aggiontoui adunque il triangolo
<lb/>AFD commune, serà il triangolo F D E eguale alla figura
<pb n= "2 recto"/>
<lb/>quadrilatera A F D C. Essendo adunque per la prima
<lb/>del sesto la proportione del triangolo BFD al triangolo
<lb/> F E D, come quella della B F alla FE; e per conseguenza
<lb/>come quella della M alla N ; la proportione
<lb/>del triangolo BFD alla figura quadrilatera AF DC,
<lb/>è come la proportione della M alla N. onde è manifesto
<lb/>il proposito.
<lb/>Terzo caso. Sia la proportione della M alla N maggior
<lb/>della proportione, della BA galla AE . Diuidasi
<lb/>audunque la B E nel punto F, (il che serà fra i punti A&E)
<lb/>secondo la proportione della M - -
<lb/>alla N: e tirisi la F G equidistante
<lb/> alla linea CE, fin tanto che concorra |
<lb/>con la linea AC al punto G.
<lb/>Dopò questo congiungasi la linea
<lb/>GD. Dico la linea G D diuidere
<lb/>il triangolo secondo la proportion
<lb/>datasi. Perciòche tirinsi le linee
<lb/>DF, D E. è adunque il triangolo A D E eguale al triangolo
<lb/>ADC per la 37. del primo, e per la medesima il
<lb/>triangolo A D F è vguale al triangolo A D G. I duo
<lb/>restanti adunque, cioè il triangolo F D E, & il triangolo
<lb/>GDC sono eguali. Aggiuntosi anche il triangolo ABD
<lb/>commune à i duo triangoli AF D, & A G D eguali;
<lb/>serà il triangolo B F D eguale alla figura quadrilatera
<lb/>B A G D. Adunque il triangolo FBD hà quella proportione
<lb/>al triangolo F D E, c'ha la figura quadrilatera BA
<lb/>GD al triangolo GCD. Mà la proportion del triangolo
<lb/> F B D al triangolo F D E è come quella della M alla
<lb/>N, per la suppositione, e per la prima del sesto. la proportione
<lb/>adunque della figura quadrilatera BA G D al triangolo
<lb/>GDC, è come la proportione della M alla N: che
<lb/>fu il proposito.
<pb n= "2 verso"/>
<lb/>DEL MODO DI DIVIDERE.
<lb/>PROPOSITION. III. PR O B L EMA III.
<lb/>Con vna linea equidistante ad un lato asegnato
<lb/> d'un triangolo noto, diuidere quel triangolo
<lb/>secondo vna data proportione.
<lb/>Sia la proportion data quella della HK alla KL: &
<lb/>il triangolo A B C, ilquale secondo la proportion data
<lb/>voglio diuidere con vna linea equidistante al lato B С
<lb/>di esso. Perciòche dall'angolo A, verso ilquale voglio
<lb/>hauere l'antecedente nella proportion da cercarsi; tirarò
<lb/>la linea AE ad angoli retti sopra la linea A C, & eguale
<lb/>ad essa: & allunghisi la linea E A per lo dritto fino
<lb/>al punto F, fintanto che sia la proportion della EA alla
<lb/>A F; come quella della H
<lb/>L alla HK: e posto il centro
<lb/>nel punto di mezzo della linea
<lb/> F E, il quale sia M; de
<lb/>scriuasi il semicircolo FDE
<lb/>secondo la quantità della linea
<lb/>ME: ilqual semicircolo
<lb/> taglierà la linea A C, nel
<lb/>punto D, poi che la linea AD è minore della linea AE, e
<lb/>la linea A E è vguale alla linea A C. Tiratasi adunque la
<lb/>linea D G equidistante alla linea BC: Dico che la proportione
<lb/>del triangolo A G D alla superficie GBCD, è come
<lb/>la proportione della H K alla KL La ragione. Perciòche
<lb/>la proportione del triangolo A B C al triangolo AGD,
<lb/>è come la proportione della A C alla A D duplicata,
<lb/>per la 17. del sesto, mà le A C & A E sono eguali. la
<lb/>proortione adunque del triangolo A B C al triangolo AGD,
<lb/>è come la proportione della AE alla A D duplicata. Mà
<lb/>la proportione della AE alla A D duplicata è come
<lb/>quella della AE alla AF, per la 30. del terzo, e per l’ottaua
<pb n= "3 recto"/>
<lb/> del sesto. la proportion adunque del triangolo A B C al
<lb/>triangolo AGD, è come la proportione della E A alla AF.
<lb/>Mà la proportione della E A alla AF è come quella della HL
<lb/>alla HK. Adunque la proportione dello A B C allo
<lb/>AG D, è come quella della LH alla H K. Diuidendo
<lb/> adunque la proportion della superficie GB C D al
<lb/>triangolo A G D, è come quella LK Alla KH.
<lb/>Conuertendo adunque il triangolo A G D è alla superficie
<lb/> G B C D, come la proportione della H K alla KL:
<lb/>il che doueua prouarsi.
<lb/>PROPORTION IIII. P R O B L E M A IIII.
<lb/>Con vna linea equidistante ad vna perpendicolare
<lb/> tirata sopra la base da vn angolo
<lb/> d'un triangolo, diuidere quel triangolo
<lb/>secondo vna data proportione.
<lb/>Sia la proportion data quella della KL alla LM.
<lb/>Secondo essa voglio diuidere il triangolo A B C con vna
<lb/>linea equidistante alla perpendicolare AD. Perciòche
<lb/>diuiderò la linea K M secondo la
<lb/>proportione della linea B D alla
<lb/>D C. e sia (per essempio) che prima -
<lb/>la diuisione cada nel punto L. la
<lb/>proportione adunque della KL alla
<lb/>LM è come quella dalla B D alla
<lb/>D C: e conseguentemente come
<lb/>quella del triangolo A B D al triangolo
<lb/> A DC per la Prima del sesto. La linea A D adunque
<lb/>diuide il triangolo secondo la proportion datasi.
<lb/>Secondo caso. Sia mò la proportione della KG alla
<lb/>GM, come la proportione della B D alla DC; talche
<lb/>il punto G sia frà i punti L&M. Diuiderò poi il triangolo
<lb/>A B D per la premessa con
<lb/>vna linea equidisante al lato
<lb/>A D secondo la proportione della
<lb/>K L alla LG: e la linea la qual
<lb/>diuide il triangolo in questo modo
<lb/> sia la F E. Dico adunque che -
<lb/>la proportione del triangolo
<lb/>F B E alla superficie A FEC,
<lb/>è come la proportione della KL alla LM. La ragione.
<lb/>Perciòche la proportione del triangolo ADC al triangolo
<lb/>A B D è come la proportione della M G alla
<lb/>G K. Congiungendo adunque per la 18. del quinto la
<lb/>proportione del triangolo A B C al triangolo A B D;
<lb/>è come la proportione della MK alla KG. Mà la
<lb/>proportione del triangolo A B D al triangolo F B E, è come
<lb/>la proportione della KG alla KL. adunque secondo
<lb/>la proportionalità eguale per la 22. del quinto, serà
<lb/>la proportione del triangolo ABC al triangolo FBE,
<lb/>come la proportione della M K alla KL. Diuidendo,
<lb/>adunque la proportione della superficie A FEC al
<lb/>triangolo FBE, è come la proportione della ML alla
<lb/>KL, Conuertendo adunque la proportione della KL
<lb/>alla LM è come quella del triangolo F B E alla superficie
<lb/>A F E C: il che haueua da prouarsi.
<lb/>Terzo caso. Sia la proportione della KH alla HM,
<lb/>com’è quella della BD alla D C: talmente che il punto
<lb/> H sia frà i punti K & L. Diuiderò
<lb/>poi per la premessa il
<lb/>triangolo A D C secondo
<lb/>proportione della H L alla LM,
<lb/>con la linea NO equidistante al
<lb/>lato A D. Dico adunque che
<lb/>la proportione della superficie
<lb/>NA BO al triangolo NO C; è
<pb n= "4 recto"/>
<lb/>come la proportione della KL alla L M . La ragione.
<lb/>Perciòche la proportione del triangolo ABD al triangolo A
<lb/>DC, è come quella della KH alla HM, per la prima del 6.e
<lb/>per la 11 del 5. Congiungendo adunque per la 18 del 5. la
<lb/>proportione del triangolo A B C al triangolo A DC, è come
<lb/>la proportione della KM alla HM. Mà la proportione
<lb/>del triangolo A D C al triangolo N O C, è come
<lb/>la proportione della HM alla LM. Secondo la proportionalità
<lb/> eguale adunque la proportione del triangolo
<lb/>A B C al triangolo NO C, è come quella della KM
<lb/>alla LM. Diuidendo adunque la proportion della
<lb/>superficie NABO al triangolo NOC, è come la proportion
<lb/>della KL alla LM: che fu il proposito.
<lb/>PROPOSITION V. PROBLEMA V.
<lb/>Diuidere vn triangolo noto, con vna linea
<lb/>equidistante ad vna linea tirata da vn’angolo
<lb/> suo, la quale ne sia equidistante ad alcuno
<lb/> de’suoi lati, ne ad alcuna delle sue
<lb/>perpendicolari secondo vna data proportione.
<lb/>Questa conchiusione si può prouare come la premessa:
<lb/>è si può anche mostrare altramente in questo modo.
<lb/>Sia la proportion data quella del
<lb/>la M alla N: e sia il triangolo
<lb/>ABC, ilquale io voglio diuidere
<lb/>secondo la proportione della
<lb/>M alla N, con vna linea equidistante
<lb/>alla AD, la quale cada dall'
<lb/>angolo A. ne sia perpendicolare,
<lb/>ne equidistante ad alcuno de’ lati
<lb/>del triangolo. Diuiderò adunque la linea BC secondo
<pb n= "3 verso"/>
<lb/>la proportione della M alla N: e cada (per essempio) prima
<lb/>la diuisione nel punto D. la linea A D adunque per
<lb/>la prima del sesto diuide il triangolo secondo la proportion
<lb/> datasi della M alla N.
<lb/>Secondo caso. Cada poi la diuisione frà i punti B e D,
<lb/>nel punto E; talche la proportione della B E alla E C,
<lb/>sia come quella della M alla N. Alhora porrò la linea BF
<lb/>mezzana proportionale frà le linee
<lb/>BD, & B E: e tiratasi la linea
<lb/>F G equidistante alla linea
<lb/>A D; dico ch’ella diuide il triangolo
<lb/> secondo che si propone. La
<lb/>ragione. Perciòche tirarò la linea
<lb/>A E. la proportione adunque del
<lb/>triangolo ABD al triangolo GBF,
<lb/>è come quella della BD alla B F duplicata, per la 17 del
<lb/>sesto. è adunque come la proportione della B D alla B E.
<lb/>Mà secondo la proportione della B D alla B E, è la
<lb/>proportione del triangolo ABD, al triangolo A B E. è
<lb/>adunque la medesima proportione del triangolo ABD
<lb/>al triangolo GB F, & al triangolo AB E. Adunque i
<lb/>triangoli G B F, & A B E sono eguali. Postasi adunque
<lb/>la H nella settione delle linee A F, G F, si vede chiaro
<lb/>che i triangoli AGH & EFH sono equali: à i quali
<lb/>aggiuntasi la superficie A G FC serà il triangolo AEC
<lb/>eguale alla superficie A GFC. La medesima
<lb/>proportione adunque è del A B E al triangolo AEC
<lb/>che del triangolo B F G alla superficie AG FC: Mà la
<lb/>proportione del triangolo A B E al triangolo A E C, è
<lb/>come la proportion datasi della M alla N; è manifesto
<lb/>adunque il proposito.
<lb/>Terzo caso. Cada la diuisione frà i punti D & C nel
<lb/>punto E; talche sia la proportione della BE alla EC,
<lb/>come quella della M alla N. Porrò adunque la linea CK
<pb n= "5 recto"/>
<lb/>mezzana proportionale frà la
<lb/>D C e la EC. Alhora tiratasi la
<lb/>linea K L equidistante alla linea
<lb/>AD; dico ch'ella diuide il triangolo
<lb/>secondo che si propone.
<lb/>Perciòche si come prima la proportione
<lb/>del triangolo ADC al triangolo
<lb/>LKC, è come la proportione della DC alla KC duplicata:
<lb/>e per conseguenza è come
<lb/>la proportion della DC alla EC: e secondo la medesima
<lb/>proportione è la proportion del triangolo ADC al
<lb/>triangolo AEC. Adunque i triangoli LK C, & A EC sono
<lb/>eguali. Il perche i triangoli AHL, e KH E ancora sono
<lb/>eguali. La superficie LA B K adunque è vguale al triangolo
<lb/>ABE: Adunque la medesima proportione è quella della superficie
<lb/>LABK al triangolo LKC; che quella del triangolo ABE
<lb/>al triangolo A E C. Mà quella proportione è come quella
<lb/>della M alla N; Manifesto è adunque il proposito. Nota
<lb/>che à questo modo medesimo si può anche prouare la con
<lb/>chiusion premessa, e questa è proua più facile che le poste
<lb/>di sopra.
<lb/>PROPOSITION VI. PROBLEMA VI.
<lb/>Diuidere vn triangolo noto con vna linea equidistante
<lb/>à qualunque linea tiratasi in esso,
<lb/> o tirisi da angolo, o nò, secondo vna data
<lb/>proportione,
<lb/>Perciòche se la linea segnata sia equidistante à qualche
<lb/>lato del triangolo, si hauerà l’intento per la 3. di questo.
<lb/>Se anche la detta linea cada da qualche angolo si hauerà il
<pb n= "4 verso"/>
<lb/>proposito per la premessa. Che se la linea assegnatasi ne
<lb/>discenda da angolo veruno del triangolo, ne sia equidistante
<lb/>ad alcun lato suo, come nel triangolo A BC; assegnisi la
<lb/>linea D E la quale non sia equidistante alla linea AC; mà
<lb/>concorrebbe con essa dalla parte C; se l'vna e l'altra s'allungasse.
<lb/>Alhora dall'angolo dalla part del quale sarebbe il
<lb/>concorso, come dal angolo C tirisi
<lb/>la linea CF nel triangolo, equidistante
<lb/>alla linea assegnatasi, ciò è
<lb/>alla linea DE: Et alhora per la
<lb/>premessa diuidasi il triangolo con
<lb/>vna linea equidistante alla linea
<lb/>CF secondo la proportion datasi.
<lb/>Chiara cosa è per la 30 del primo
<lb/>ch'esso alhora vien diuiso con
<lb/>vna linea equidistante alla linea DE, e cosi è manifesto
<lb/>il proposito tirisi quanto si voglia strauagantemente la
<lb/>linea.
<lb/>ΡROPOSITION VII. PROBLEMA VII.
<lb/>Con vna linea tirata da vn’angolo d'vn quadrangolo
<lb/>noto, diuidere quel quadrangolo
<lb/>secondo vna data proportione.
<lb/>Sia la proportion datasi quella della M alla N, e sia il
<lb/>quadrangolo ABCD: dall'angolo A del quale voglio tirare-
<lb/>vna linea, che diuida il quadrangolo secondo la
<lb/>proportione della M alla N. Perciòche tirarò il diametro AC,
<lb/>e dal punto D tirarò la linea DF equidistante alla linea AC,
<lb/>fin che concorra con la linea BC nel punto F. Diuiderò
<lb/>poi la linea BF secondo la proportione della M alla N: e
<lb/>prima cada la diuisione nel punto C; talche sia la medesima
<pb n= "6 recto"/>
<lb/> proportione quella della BC alla
<lb/>CF; che quella della M alla N. Dico
<lb/>adunque che la linea AC diuide
<lb/>il quadrangolo secondo che si è
<lb/>proposto. La ragione. Perciòche
<lb/>il triangolo A DC è vguale al
<lb/>triangolo AFC per la 37 del
<lb/>primo. Mà la proportione del
<lb/>triangolo A B C al triangolo AC F è come la proportione
<lb/>della M alla N prima del sesto. La proportione
<lb/>adunque del triangolo A B C al triangolo ACD è come
<lb/>la proportione della M alla N, che fù il proposito.
<lb/>Secondo caso. Cada la diuisione nel punto E frà gli punti
<lb/>B& C; talche sia la proportione della BE alla EF come
<lb/>quella della M alla N. Alhora tiratasi la linea AE ; dico
<lb/>che la proportione del triangolo A B E alla superficie
<lb/>A E C D, è come la proportione della M alla N. La ragione.
<lb/> Perciòche tirarò la linea AF.
<lb/>serà adunque il triangolo AD c
<lb/>eguale al triangolo A FC per la
<lb/>37 del primo. Aggiuntosi adunque
<lb/>il triangolo AEC commune
<lb/> all’vno & all'altro; serà la
<lb/>superficie AECD eguale al triangolo
<lb/> A E F. Adunque la medesima
<lb/>proportione è quella del triangolo A B E alla superficie
<lb/>A ECD, & al triangolo A E F. Essendo adunque per la
<lb/>prima del sesto la proportione del triangolo A BE al triangolo
<lb/>AEF come quella della M alla N; chiaramente si
<lb/>vede, che la proportione del triangolo A B E alla superficie
<lb/>A E C D, è come quella della M alla N: ilche doueua
<lb/>prouarsi.
<lb/>Terzo caso. Cada la diuisione frà i punti C & F, nel
<lb/>punto G; talche sia la proportione della B G alla GF; come
<pb n= "5 verso"/>
<lb/>quella della M alla N. Alhora tirarò la linea GH
<lb/>equidistante alla linea D F, finche concorra con la linea DC
<lb/>nel punto H. Tiratasi poi la linea A H; dico che la
<lb/>proportione della superficie A B C H al triangolo A DH è come
<lb/> la proportione della M alla N. La ragione. Perciòche
<lb/>tirarò la linea A G. Serà adunque il triangolo AHC eguale
<lb/>al triangolo A GC: mà tutto il triangolo ADC ancora
<lb/>è vguale à tutto il triangolo
<lb/>A FC; Adunque il triangolo
<lb/>A D H restante è vguale al triangolo
<lb/>restante A FG. Aggiuntosi
<lb/>adunque il triangolo A B C commune
<lb/>à i duo triangoli ACH &
<lb/>ACG eguali; serà la superficie
<lb/>ABCH eguale al triangolo ABG.
<lb/>serà adunque la proportion dell superficie ABGH al triangolo
<lb/>ADH, come quella del triangolo ABG al triangolo AGF
<lb/>Mà la proportione del triangolo A B G al triangolo AGF
<lb/>è come la proportione della M alla N, Il perche è manifesto
<lb/>il proposito.
<lb/>PROPOSITION VIII. PROBLEMA VIII.
<lb/>Diuidere vn quadrangolo noto di duo lati
<lb/>equidistanti con vna linea tirata da vn punto
<lb/> assegnato in uno de’ duo lati equidistanti
<lb/>secondo una data proportione.
<lb/>Sia il quadrangolo noto AB CD, & il punto assegnatosi
<lb/> nel lato B C equidistante al lato A D, sia E. Alhora
<lb/>voglio tirare vna linea dal punto E che diuida il quadrangolo
<lb/>secondo la proportione della L alla M. Perciòche
<lb/>allunghisi la BC per lo dritto fino al punto F : talche la
<lb/>linea CF sia eguale alla linea A.D. e tirisi la linea AF, che
<pb n= "7 recto"/>
<lb/>tagli la linea DC nel punto G. sono adunque i triangoli
<lb/>ADG GCF simili, & eguali i lati AD CF. Quei triangoli
<lb/>adunque sono eguali. Aggiuntasi adunque la superficie
<lb/>ABCG commune all'uno & all'altro; si vede chiaro che il
<lb/>quadrangolo ABCD è vguale al triangolo ABF. Tienti à
<lb/>mente questo. Diuiderò poi la linea B F secondo la proportione
<lb/>della L alla M; e prima cada la diuisione nel punto E;
<lb/>talche la proportione della BE alla EF, sia come quella
<lb/>della L alla M: Alhora tiratasi la
<lb/>E A, dico ch’ella diuiderà il
<lb/>quadrangolo secondo che si propone.
<lb/>Perciòche per l'vgualianza de
<lb/>triangoli ADG e CGF la superfificie
<lb/>AECD è vguale al triangolo
<lb/>AEF. è adunque la medesima proportione
<lb/>del triangolo ABE alla
<lb/>superficie AECD & al triangolo AEF. Mà la proportione
<lb/> dello A B E allo AEF, è come la proportione della L
<lb/>alla M. la proportione adunque dello ABE al resto del
<lb/>quadrangolo; è come la proportione della L alla M: che è il
<lb/>proposito.
<lb/>Secondo caso. Cada la diuisione frà i punti B & E nel
<lb/>punto H; tale che sia la proportione della BH alla HF come
<lb/>quella della L alla M, Alhora
<lb/>tirarò la linea HK equidistante alla
<lb/>linea A E: e tagli la linea AB nel
<lb/>punto K. Dopoi tiratasi la linea
<lb/>K E, dico ch'ella diuide il
<lb/>quagrangolo secondo che si propone.
<lb/> Perciòche tirarò la linea
<lb/>A H. Perche adunque le linee
<lb/>AE KH sono equidistanti, seranno
<lb/>i triangoli KAH & KEH eguali. Aggiuntosi
<lb/>adunque il KBH all'uno & altro; serà il triangole A BH
<pb n= "6 verso"/>
<lb/>eguale al triangolo K B E. Mà il triangolo A K E ancora
<lb/>è vguale al triangolo A HE; Aggiuntasi adunque la superficie
<lb/>AECD commune all'vno, & all'altro; serà la superficie A K
<lb/>ECD eguale al quadrangolo AH
<lb/>CD. Mà il quadrangolo AHCD
<lb/>è vguale al triangolo AH F, come
<lb/>si è mostrato di sopra. Adunque la
<lb/>medesima proportione è quella del
<lb/>triangolo KBE alla superficie AK
<lb/>E CD; che quella del triangolo
<lb/>ABH al triangolo AH F: e per
<lb/>conseguenza che quella della L alla M: il che haueua da prouarsi.
<lb/>Terzo caso. Cada la diuisione frà i punti E & F: e fattasi
<lb/>la figura segarò dalla linea E F la linea EP eguale al
<lb/>la linea DA.Taglierò in oltre la linea BF secondo la
<lb/>proportione della L. alla M. e cada prima la diuisione nel
<lb/>punto P; Talche sia la proportione della BP alla PF come
<lb/>quella della L alla M. Alhora tirarò la linea E D: la quale
<lb/>dico diuidere il quadrangolo secondo la forma propostaci.
<lb/>La ragione. Perciòche tirarò la linea PA: e perche la linea
<lb/>EP è vguale alla linea AD, & |
<lb/>equidistante adessa; serà il triangolo
<lb/>AD E. eguale al triangolo APE
<lb/>Aggiuntoui adunque il triangolo ABE
<lb/>commune; serà il quadrangolo AB
<lb/>ED eguale al triangolo ABP: e |
<lb/>conseguentemente il triangolo restante
<lb/>DEC, serà eguale al triangolo
<lb/>restante AP F, per quello che si è prouato di soprà: ciò è
<lb/>che il quadrangolo ABCD è vguale al triangolo A B F. è
<lb/>manifesto adunque che la medesima proportione è del
<lb/>quadrangolo ABED al triangolo DEC; che del triangolo A
<lb/>B P al triangolo APF, per la 19 del quinto. Ma la proportione
<lb/>del triangolo ABP al triangolo APF è come quella
<pb n= "8 recto"/>
<lb/>della L alla M: la proportione adunque del quadrangolo
<lb/>ABED al triangolo DEC è come quella della L alla M: il
<lb/>che haueua da prouarsi,
<lb/> Secondo caso Cada la diuisione frà i punti E & P, nel
<lb/>punto Q; talche la proportione della BQ alla Q F, sia
<lb/>come quella della L alla M. Dopoi segarò dalla linea AD
<lb/>la linea A R eguale alla linea EQ. Alhora tiratasi la linea
<lb/>ER, dico ch'ella diuide il quadrangolo secondo che si
<lb/>propone. Perciòche tirarò la linea A Q. e perche le linee AR
<lb/>& EQ sono eguali, & equidistanti; seranno i triangoli
<lb/>ARE, & AQ E eguali: à i quali
<lb/>aggiuntosi il triangolo ABE come;
<lb/>serà il quadrangolo ABER eguale
<lb/>al triangolo ABQ. Mà si è prouato
<lb/>di soprache tutto il quadrangolo
<lb/>ABCD è vguale à tutto il triangolo
<lb/>ABF. adunque il quadrangolo
<lb/>RECD restante è vguale
<lb/>al triangolo restante A Q F. la
<lb/>medesima proportione adunque è del quadrangolo ABER
<lb/>al quadrangolo RECD; che del triangolo ABQ al triangolo
<lb/>AQF: e per conseguenza che della L alla M: che fu il proposito.
<lb/>Terzo caso. Cada la diuisione
<lb/>fra i punti P & F nel
<lb/>punto S; talche la proportione
<lb/>della BS alla SF sia come
<lb/>quella della L alla M.
<lb/>Diuiderò mò la linea D C
<lb/>secondo la proportione della |
<lb/>PS alla SF nel punto T, e
<lb/>tirarò la linea ET. Dico ch’ella
<lb/>diuide il quadrangolo secondo che si propone. Perciòche
<lb/>tirarò la linea AS. Perche adunque le linee A D & EP sono
<lb/>eguali, & equidistanti: seranno i trianguli ADE, &
<pb n= "7 verso"/>
<lb/>APE eguali: e per conseguenza aggiontoui il triangolo
<lb/>ABE commune; il quadrangolo A B E D è vguale al
<lb/>triangolo A B P. mà tutto il quadrangolo АвсD ancora
<lb/>è equale à tutto il triangolo A B F. adunque il triangolo
<lb/>DEC è vguale al triangolo PAF. Mà la proportione del
<lb/>triangolo D ET ancora al triangolo TE C; è come la
<lb/>proportione del triangolo P A S, al triangolo SAF. Adunque
<lb/> il triangolo DET è vguale
<lb/>al triangolo PAS, & il
<lb/>triangolo TEC è vguale al
<lb/>triangolo S A F. Mà si è di
<lb/>già prouato che il quadrangolo
<lb/>ABED è vguale al triangolo
<lb/>ABP; Aggiuntosi adunque
<lb/>il triangolo DET al primo,
<lb/>& il triangolo PA S
<lb/>eguale ad esso, al secondo; serà il pentagono ABETD eguale
<lb/>al triangolo ABS. Mà si prouò che i triangoli TE G &
<lb/>SAF sono eguali. Adunque la medesima proportione è
<lb/>del pentagono ABETD al triangolo TEC; che del triangolo
<lb/>ABS al triangolo ASF: e per conseguenza che della
<lb/>L alla M: che fu il proposito.
<lb/>PROPOSITION IX. PROBLEMA IX.
<lb/>Diuidere qualsiuoglia quadrangolo noto con
<lb/>vna linea tirata da vn punto assegnato in
<lb/>vno de’ lati non equidistanti, secondo vna
<lb/>data proportione.
<lb/>Sia il quadrangolo ABCD i duo lati del quale ADBC
<lb/>non siano equidistanti. Voglio adunque diuidere quel
<lb/>quadrangolo secondo la proportione della M alla N nota, con
<pb n= "9 recto"/>
<lb/>vna linea tirata dal punto E dato sopra la linea BC.
<lb/>Perciòche tirarò le due E A E D, & al lungherò la D A dall'
<lb/>vna e dall'altra parte per lo dritto; finche la linea BF
<lb/>concorra con ella nel punto F, equidistante alla linea AE: e la
<lb/>CG concorra con essa nel punto G, equidistante alla linea
<lb/>ED. Diuiderò poi la linea FG secondo la proportione
<lb/>della M alla N.
<lb/>E cada prima la diuisione frà i punti F &A nel punto
<lb/>H; talche sia la proportione della F H alla H G come quella
<lb/>della M alla N. Diuiderò anche la linea BA secondo la
<lb/>proportione della FH alla HA: e cada la diuisione nel punto
<lb/> K; talche sia la proportione
<lb/>della BK alla KA come
<lb/>quella della FH alla HA. Alhora
<lb/>tiratasi la linea KE; dico
<lb/>ch'ella diuide il quadrangolo
<lb/>secondo che si propone.
<lb/>Perciòche tirarò le due linee
<lb/>EF E G . Serà adunque il
<lb/>triangolo AFE eguale al triangolo ABE per la 37 del primo,
<lb/>& il triangolo DGE eguale al triangolo DCE. Aggiuntosi
<lb/>adunque all’vno & all'altro il triangolo A E D; serà il
<lb/>triangolo FEG eguale al quadrangelo ABCD proposto.
<lb/>Ponti à mente questo. E perche il triangolo AFE è vguale
<lb/>al triangolo ABE : & è la medesima proportione quella
<lb/>della FH alla HA ; che quella della BK alla KA. Per la prima
<lb/>del sesto adunque il triangolo EHF è vguale al triangolo
<lb/>EKB. adunque il restante ancora serà eguale al restante.
<lb/> Il triangolo adunque HEG restante è vguale al pentagono
<lb/>AKECD. La medesima proportione adunque è quella del
<lb/>triangolo EKB al pentagono AKECD, che del triangolo
<lb/>E H F al triangolo EGH. Adunque è come quella della linea
<lb/>FH alla linea HG, e per conseguenza come quella del
<lb/>la M alla N; ilche haueua da prouarsi.
<pb n= "8 verso"/>
<lb/>Secondo caso Cada poi la diuisione nel punto A; talche
<lb/>sia la proportione della FA alla AG come quella della M
<lb/>alla N. Alhora tiratasi la linea EA, dico ch’ella diuide il
<lb/>quadrangolo secondo che si propone. Perciòche il triangolo
<lb/>AFE è vguale al triangolo ABE. Adunque il triangolo
<lb/> AEG restante è vguale al quadrangolo restante AECD.
<lb/>La medesima proportione
<lb/>adunque è quella de triangolo AB
<lb/>E al quadrangolo AECD, che
<lb/>quella del triangolo AFE al triangolo
<lb/>AEG. Adunque è come
<lb/>quella della linea FA
<lb/>alla linea AG, e per
<lb/>conseguenza come quella della M
<lb/>alla N: ilche si doueua prouare.
<lb/>Terzo caso. Cada mò la diuisione frà i punti A & D,
<lb/>nel punto L; talche sia la proportione della FL alla L G,
<lb/>come la proportione della M alla N. Alhora dico che la
<lb/>linea EL diuide il quadrangolo secondo che si propone.
<lb/>Perciòche essendo i triangoli
<lb/>AFE & ABE eguali,
<lb/>aggiuntosi all'vno & all'altro
<lb/>il triangolo LAE; serà
<lb/>il triangolo LFE eguale al
<lb/>quadrangolo А В EL.
<lb/>Adunque il triangolo LE
<lb/>G restante è vguale al quadrangolo
<lb/>restante L E CD. La medesima proportione adunque
<lb/>è quella del quadrangolo ABEL al quadrangolo LECD,
<lb/>che quella del triangolo LFE al triangolo LEG: e per
<lb/>conseguenza che la proportione della M alla N: il che doueua
<lb/>prouarsi.
<lb/>Quarto caso. Cada poi la diuisione nel punto D. Perche
<lb/>alhora i triangoli DGE, & DCE sono eguali; serà il
<pb n= "10 recto"/>
<lb/>triangolo DFE restante eguale al quadrangolo D A B E
<lb/>restante. La medesima proportione adunque è quella del
<lb/>quadrangolo ABED al triangolo
<lb/>DEC; che quella del triangolo
<lb/>D F E al triangolo D EG.
<lb/>Adunque è come quella della linea
<lb/>FD alla linea D G: e per
<lb/>conseguenza come quella della
<lb/>M alla N. La linea aduque
<lb/>D E diuide il quadrangolo secondo
<lb/> che si propone.
<lb/>Quinto caso: Cada la diuisione nel punto P, frà i punti
<lb/>D&G, talche la proportione della FP alla PG sia come
<lb/>quella della M alla N. Alhora tirarò la linea P Q equidistante
<lb/>alla linea CG; finche concorra con la linea CD nel
<lb/>punto Q. Tiratasi adunque la linea E Q: dico ch'ella diuide
<lb/>il quadrangolo secondo che si propone. Perciòche
<lb/>tirarò la linea PE. Serà adunque il triangolo DEP eguale
<lb/>al triangolo D EQ per la
<lb/>37 del primo. Aggiunto uisi
<lb/>adunque il triangolo A E D
<lb/>commune; serà il triangolo
<lb/>A EP eguale al quadrangolo
<lb/>AEQ D. __ duo triangoli
<lb/>ancora A FE, & A B E sono
<lb/>eguali. adunque il triangolo
<lb/>F EP è vguale al pentagono ABEQD. Serà adunque
<lb/>il triangolo PEG restante eguale al triangolo restante
<lb/>QEC. è adunque la medesima proportione quella del pentagono
<lb/>ABEQD al triangolo QEG, che quella del triangolo EFP
<lb/>al triangolo PEG. Adunque è come quella della linea FP
<lb/>alla linea PG e per conseguenza come quella della M alla
<lb/>N: che sù il proposito.
<pb n= "9 verso"/>
<lb/>PROPOSITION X. PROBLEMA X.
<lb/>Proposta si una linea nota, e tiratesi due linee da
<lb/>i termini di essa, le quali facciano con essa dalla
<lb/>medesima parte quai siuogliano angoli de
<lb/>scriuere vna superficie eguale ad una superficie
<lb/>nota propostasi, sopra ad vna linea nota
<lb/>proposta, talmente che la detta superficie
<lb/>venga rinchiusa fra quella linea nota, & una linea
<lb/>equidistante à se, e fra le due dette tiratesi
<lb/>ò da vna parte ò dall'altra della linea nota.
<lb/>Verbi grati sia la linea A B nota, e le due linee AD, DC
<lb/>situate ad arbitrio nostro voglio sopra la linea A B formare
<lb/>vna superficie eguale alla superficie M nota, la quale vengario
<lb/>chiusa sia la linee AD & BC, e frà la AB, & vna linea
<lb/>equidistante à se. I duo angoli DAB, e CBA adunque ò sono
<lb/>eguali à duo retti, ò minori, ò maggiori. E siano prima
<lb/>eguali à duo retti. Serà adunque la linea AD equidistante
<lb/>alla linea BC. Farò adunque
<lb/>per la 44 del primo sopra
<lb/>la linea AB vna superficie
<lb/>di lati equidistanti, gli
<lb/>angoli della quale siano
<lb/>eguali à gli angoli DAB, C
<lb/>BA : & essa superficie sia
<lb/>eguale alla superficie M:
<lb/>& è manifesto il proposito.
<lb/>Secondo caso. Siano mò i duo angoli.DAB & CBA mi
<lb/>nom di duo retti. Concorreranno adunque le due linee AD,
<lb/>BC dalla parte CD. mà concorrano nel punto E. se adunque
<lb/>il triangolo EAB non serà maggiore della superficie
<pb n= "10 recto"/>
<lb/>M, dalla parte DG non si può formare vna superficie tale,
<lb/>qual volemmo: ma bisognerà alhora che si faccia dall’altra
<lb/>parte. Sia adunque il triangolo E AB maggiore della
<lb/>superficie M; essa la proportione
<lb/> del triangolo E B alla
<lb/>superfície M; come quella del
<lb/>la linea FH alla linea F
<lb/>G: e sia la linea K mezzana
<lb/>proportionale frà la FH, e la
<lb/>G H. Taglierò poi dalla
<lb/>linea E B la linea E C,
<lb/>la quale stia in proportione con la linea E B, come la linea
<lb/>K con la linea FH. Alhora tiratasi la C D equidistante alla
<lb/>linea BA; dico che la superficie A B C D è vguale alla
<lb/>superficie M. La ragione Perciòche la proportione del triangolo.
<lb/>BAE al triangolo CDE è per la 17 del e come la proportione
<lb/>della BE alla CE duplicata è adunque, come quella ancora della
<lb/>FH alla K duplicata: e per consequenza la proportione del triangolo
<lb/>alla BAE al triangolo CDE è come la della
<lb/>FH alla GH. Conuertendo adunque la proportione del
<lb/>triangolo BAE al quadrangolo BADC è come la proportione
<lb/>della FH alla FG. Mà quella proportione che è della
<lb/>FH alla FG; quella medesimo è del trangolo BAE alla
<lb/>superficie M, la medesima proportione adunque è del triangolo
<lb/>BAE alla superficie M, & al quadrangolo BADC. Il perche
<lb/>la superficie M, & il quadrangolo BADC sono equali.
<lb/>e questo è quello che volemmo.
<lb/>Terzo caso. Siano posti duo angoli DA B, & C B A
<lb/>maggiori di duo retti. concorranno adunque dalla
<lb/>parte A B. poniamo che ciò sia del punto E.
<lb/>Porrò adunque la proportione della GH alla GE
<lb/>secondo la proportione del triangolo A BE alla
<lb/>superficie M: e sia la linea K mezzana proportionale
<lb/>frà la FH, e la G H: e porrò la proportione della EC
<pb n= "10 verso"/>
<lb/>alla E B, secondo la proportione della FH alla K: Alhora
<lb/>tiratasi la CD equidistante alla linea A B; dico che la
<lb/>superficie M è vguale al quadrangulo A B C D . La ragione.
<lb/>Perciòche la proportione del triangolo CD E al triangolo
<lb/>BAE, è (come si
<lb/>è mostrato di sopra) come
<lb/>la proportion della
<lb/>F H alla G H. Conuertendo
<lb/>adunque la proportione del triangolo CDE
<lb/>al quadrangolo CDAB è come la proportione della FH alla FG.
<lb/>Diuidendo adunque la proportione del triangolo ABE al
<lb/>quadrangolo ABCD è come la proportion della GH alla GF: e per
<lb/>consequenza come la proportione del medesimo triangolo
<lb/>ABE alla superficie M. Adunque il quadrangolo ABCD, e la superficie M
<lb/>sono equali, e tanto hauemo voluto dimostrare.
<lb/>P R O P O S I T I O N XI. PR O B L E M A XI.
<lb/>Diuidere vn quadrangolo di duo lati
<lb/>equidistanti con vna linea equidistante ad vno de’suoi
<lb/>lati, secondo vna data proportione.
<lb/>Sia il quadrangolo di lati equidistante A B CD, ilquale voglio
<lb/>diuidere secondo la proportione della G alla H, con vna linea
<lb/>equidistante al lato AB di esso.
<lb/>Perciòche diuiderò la linea BC
<lb/>nel punto E, secondo la proportione della G alla H, e trirarò la linea
<pb n= "11 recto"/>
<lb/> EF equidistante alla linea AB. e si hà l’intento. Perciòche per la
<lb/>prima del sesto la medesima proportione è quella
<lb/>del quadrangolo ABEF al quadrangolo FECD; che quella
<lb/>della linea BE alla linea EC: e per consequenza che quella
<lb/>della G alla H: che fu il proposito.
<lb/>PROPOSITION XII. PROBLEMA XII.
<lb/>Diuidere vn quadrandolo di duo lati solamente equidistanti
<lb/>con vna linea equidistante à suoi lati equidistanti secondo vna
<lb/>data proportione.
<lb/>Sia il quadrangolo ABCD, del quale i duo lati AD
<lb/>& B C solamente siano equidistanti: Voglio adunque
<lb/>diuidere quel quadrangolo secondo la proportione
<lb/>della M alla N, con vna linea equidistante à suoi lati AD
<lb/>& B C. Perciòche i suoi lati
<lb/>AB & DC concorreranno
<lb/>necessariamente. Poniamo
<lb/>che ciò sia nel punto E:
<lb/>e porrò la proportione della
<lb/>HO alla LO secondo la proportione
<lb/>del triangolo DA E
<lb/>al triangolo CBE. Conuertendo, e diuidendo adunque
<lb/>serà la proportione del triangolo CBE, al quadrangolo
<lb/>D A B C, come quella della L O alla LH. Diuiderò mò
<lb/>la linea HL nel punto K, secondo la proportione della M
<lb/>alla N; talche sia la proportione della H K alla KL, come
<lb/>quella della M alla N: e sia la linea P mezzana proportionale
<lb/>frà le linee KO & OL: & porrò la proportione
<lb/>della F E alla C E, secondo la proportione della
<lb/>KO alla P. Dopoi tirarò la linea F G equidistante alla linea
<pb n= "11 verso"/>
<lb/> D A . Dico adunque ch'ella diuide il quadrangolo
<lb/>secondo che si propone. La ragione. Perciòche la proportione
<lb/>del triangolo F G E al triangolo CBE, è come la
<lb/>proportione della FE alla CE duplicata. Adunque è come
<lb/>la proportione ancora della KO alla P duplicata: e per
<lb/>conseguenza la proportione del
<lb/>triangolo FGE al triangolo
<lb/>CBE, è come la proportione
<lb/>della KO alla LO. Diuidendo
<lb/>adunque la proportione del
<lb/>quadrangolo FGBC al triangolo
<lb/>CBE, è come la proportione della KL alla LO. la proportione
<lb/>poi del triangolo CBE al quadrangolo ABCD (come si è mostrato di sopra)
<lb/>è come la proportione della LO alla LH. Per la proportionalità
<lb/>egale adunque la proportion del quadrangolo F
<lb/>GBC al quadrangolo ABCD, è come la proportione della
<lb/> KL alla LH. Diuidendo adunque la proportione del
<lb/>quadrangolo FGBC al quadrangolo A GFD è come la
<lb/>proportione della KL alla KH. Conuertendo adunque la
<lb/>proportione dell'AGFD al GBCF, è come quella della HK
<lb/>alla K L : e per conseguenza come quella della M alla N,
<lb/>che fu il proposito.
<lb/>PROPOSITION XIII. PROBLEMA XIII.
<lb/>Diuidere vn quadrangolo di duo lati equidistanti
<lb/>solamente, con una linea equidistante
<lb/>ad vno de suoi lati non equidistanti secondo
<lb/>vna data proportion,
<pb n= "12 recto"/>
<lb/>Siano solamente i duo lati A D B C del quadrangolo
<lb/>A B C D equidistanti. Voglio adunque diuidere quel
<lb/>quadrangolo secondo la proportione della M alla N, con
<lb/>vna linea equidistante al lato di esso AB. Da vn de’duo
<lb/>angoli adunque ò C ò D tirarò vna linea dentro al
<lb/>quadrangolo equidistante alla linea A B, e sia per essempio la
<lb/>linea D E. Dopoi tirarò la B E per e'l dritto sino al punto
<lb/>F, tanto che la BF sia eguale alla B E: e diuiderò la linea
<lb/>FC secondo la proportione della M alla N. e prima cada
<lb/>la diuisione nel punto E; talche sia la proportione della
<lb/>F E, alla EC, come quella della M alla N. Dico adunque
<lb/>che la linea D E diuide il
<lb/>quadrangolo secondo che
<lb/>si propone. La ragione.
<lb/>Tirarò la linea EF, è adunque
<lb/>la proportione del triangolo
<lb/>F DE al triangolo
<lb/>EDC, come la proportione
<lb/>della FE alla EC adunque
<lb/> come la proportione della M alla N ancora. Mà per la
<lb/>prima del sesto, e per la 41. del primo il quadrangolo
<lb/>A ᏴᎬD è vguale al triangolo EDF. Adunque la proportione
<lb/>del quadrangolo ABED al triangolo DEC, è come
<lb/>quella M alla N, che fù il proposito.
<lb/> Secondo caso. Cada poi la diuisione frà i punti I & E; talche
<lb/> sia maggiore la proportione
<lb/>della FE alla E C, che
<lb/>la proportione della M alla
<lb/>N . iuisasi adunque la linea
<lb/>EC in parti eguali nel
<lb/>puuto G serà maggior proportione
<lb/>quella della BE alla
<lb/>EG che quella della M alla
<lb/>N: per questo che la linea BE è la metà della linea FE;
<pb n= "12 verso"/>
<lb/>e la linea EG è la metà della linea EC. Diuisasi adunque
<lb/>la linea BG secondo la proportione della M alla N, caderà
<lb/>la diuisione frà i punti B & E: essa nel punto H; talche sia la
<lb/>medesima proportione quella della BH alla HG che quella della,
<lb/>M alla N. tiratasi la linea HK equidistante alla linea
<lb/>BA; dico ch'ella diuide il quadrangolo
<lb/>secondo che si propone
<lb/>Perciòche tirarò pe’l
<lb/>dritto la linea AD fino al punto
<lb/> L; fin tanto che concorra
<lb/>con la linea GL equidistantemente alla linea D E. Perche
<lb/>adunque la linea E C è doppia
<lb/>alla linea EG, serà il parallelogrammo DEGL eguale
<lb/>al triangolo DEC. Aggiuntosi adunque all'vno & all’altro
<lb/>il quadrangolo KHED; serà il quadrangolo KHGL
<lb/>eguale al quadrangolo KHCD. La medesima proportione
<lb/>adunque è quella del quadrangolo ABHK al quadrangolo K
<lb/>HGL, & al quadrangolo KHCD: la proportion poi del
<lb/>quadrangolo ABHK al quadrangolo KHGL è come la proportione
<lb/>della BH alla HG: e per consequenza come quella
<lb/>M alla N. Adunque la proportione del quadrangolo
<lb/>ABHK al quadrangolo KHCD, è come la proportione
<lb/>della M alla N: che è il proposito.
<lb/> Terzo caso. Cada mò la diuisione frà i punti F & C nel
<lb/>punto R; talche sia la proportione della FR alla RC,
<lb/>come quella della M alla N. Alhora tirarò la linea DR : e
<lb/>per la 3 di questo diuiderò il triangolo DEC secondo la
<lb/>proportione del triangolo DER al triangolo D RC, con
<lb/>la linea P Q equidistante al lato di esso D E; talche sia il
<lb/>quadrangolo DEPQ eguale al triangolo DER, & anche
<lb/>il triangolo QPC eguale al triangolo DRC. Dico adunque
<lb/>che la linea PQ diuide il quadrangolo secondo che si propone.
<lb/>Perciòche la proportione de triangolo FDR al
<pb n= "13 recto"/>
<lb/>triangolo RDC, è come la proportione della M alla N,
<lb/>Mà il quadrangolo ABED è vguale al triangolo FDE, &
<lb/>il quadrangolo DEPQ è vguale al triangolo DER. Adunque
<lb/>il pentagono ABPQD è
<lb/>vguale al triangolo F DR.
<lb/>Mà il triangolo DRC ancora
<lb/>è vguale al triangololo
<lb/>PQC. Adunque la proportione
<lb/>del pentagono ABPQD
<lb/>al triangolo QPC, è come la
<lb/>proportione del triangolo
<lb/>FDR al triangolo DRC; e per conseguenza come la
<lb/>proportione della M alla N, che fù il proposito.
<lb/>Nel medesimo modo operaremmo con vna linea equidistante
<lb/>al lato DC di esso; e si vede manifesto tutto ciò che
<lb/>proponemmo.
<lb/>PROPOSITION XIIII. PROBLEMA XIIII.
<lb/>Diuidere vn quadrangolo che non habbia
<lb/>lato veruno equidistante con vna linea
<lb/>equidistante ad vno de’suoi lati,secondo vna data
<lb/>proportione.
<lb/>Verbi gratia il quadrangolo ABCD non habbia verunlato
<lb/>equidistante: mà però voglio diuiderlo secondo la proportione
<lb/>della V alla X, con vna linea equidistante al suo
<lb/>lato A B. Perciòche tirarò da vno de’ duo angoli C ò D
<lb/>vna linea equidistante alla linea AB, che passi dentro al
<lb/>quadrangolo, e sia per essempio la linea DE; e tirarò le due linee
<lb/> EA BD, che si taglino insieme nel punto O: & al
<lb/>lungherò la linea CB pe'l dritto fino al punto F; finche
<lb/>sia la proportione della F B alla BE, coma la proportione
<pb n= "13 verso"/>
<lb/>della AO alla OE, e tirarò la linea FD. Dopoi diuiderò
<lb/>la linea FC secondo la proportione della V alla X: e prima
<lb/>cada la diuisione nel punto E; talche sia la proportione
<lb/>della FE alla EC, com’è la proportione della V alla X.
<lb/>Dico adunque che la linea DE diuide il quadrangolo
<lb/>secondo che si propone. La ragione. Perciòche la proportione
<lb/>del triangolo ADO al triangolo ODE, è come la
<lb/>proportione della AO alla OE: e la proportione del triangolo
<lb/>ABO ancora al triangolo OBE, è come la proportione
<lb/>della AO alla OE. Conguingendo adunque la proportione del
<lb/>triangolo BAD al
<lb/>triangolo BED, è come la proportione della AO alla OE:
<lb/>e per consequenza come la proportione della FB alla BE: e
<lb/>secondo la medesima proportione è il triangolo FDB rispetto al trianglo BED.
<lb/>Adunque il triangolo BAD è vguale al triangolo FBD.
<lb/>Aggiuntosi adunque il triangolo BDE commune all’uno
<lb/>& all’altro; serà il triangolo FDE equale al quadrangolo
<lb/>ABED. Mà la proportione del triangolo FDE al triangolo
<lb/>EDC, è come la proportione della FE alla EC: e per consequenza
<lb/>come la proportione della V alla X. Adunque la
<lb/>proportione del quadrangolo ABED al triangolo EDC è
<lb/>come la proportione della V alla X: che fu il proposito.
<lb/>Secondo caso. Cada poi la diuisione frà i punti F & E
<lb/>(ò sia di dentro, ò sia di fuore del quadrangolo, che di ciò
<lb/>non si tien cura:) e poniamo che sia nel punto G; talche sia
<lb/>la propositione della FG alla GC, come la proportione
<lb/>della V alla X: è tirarò la linea GD. serà adunque la proportione
<lb/>del triangolo FGD al triangolo GDC, come quella
<lb/>della V alla X. Applicherò adunque per la decima di
<lb/>questo alla linea AB vna superficie eguale al triangolo
<pb n= "14 recto"/>
<lb/>FGD, la quale venga contenuta da i duo angoli ABC &
<lb/>BAD, separandola con la linea HK equidistante alla linea
<lb/>AB: Dico adunque ch'ella diuide il quadrangolo
<lb/>secondo che si propone. Perciòche passerà dentro al
<lb/>quadrangolo ABED per questo, che il triangolo FDE è vguale
<lb/>al quadrangolo A BED, & il
<lb/>triangolo FDG è minore del
<lb/>triangolo FDE. Essendo adunque
<lb/>il triangolo FDE eguale
<lb/>al quadrangolo AB ED, & il
<lb/>triangolo FDG vguale al
<lb/>quadrangolo ABHK; bisogna che
<lb/>il triangolo G D E sia eguale al
<lb/>quadrangolo KHED. Aggiuntoui adunque il triangolo
<lb/>EDC commune; serà il triangolo GDC eguale al quadrangolo
<lb/>KHCD. la medesima proportione adunque è quella del
<lb/>quadrangolo ABHK al quadrangolo KHCD che quella del triangolo
<lb/>FGD al triangolo GDC e per conseguenza è come la
<lb/>proportione della V alla X: che ful il proposito.
<lb/>Terzo caso. Cada mò la diuisione frà i punti E & C nel
<lb/>punto L; talche sia la proportione della FL alla LC, come
<lb/>quella della V alla X: serà adunque la proportione del
<lb/>triangolo FDL al triangolo LDC,
<lb/>come la proportione della V alla
<lb/>X. Taglierò poi per la terza di
<lb/>questo dal triangolo DEC vn
<lb/>triangolo simile à lui, & eguale
<lb/>al triangolo L D C, con la linea
<lb/>MN equidistante alla ED. Dico
<lb/>adunque ch'ella diuide il
<lb/>quadrangolo secondo che si propone. Perciòche il triangolo
<lb/>FDE è vguale al quadrangolo ABED: & il triangolo ED
<lb/>L è vguale al quadrangolo DEMN: per questo, che i
<lb/>triangoli MNC, & LDC sono eguali. Adunque il pentagono
<pb n= "14 verso"/>
<lb/>ABMND è vguale al triangolo FDL. è adunque la
<lb/>medesima proportione quella pentagono A BMND
<lb/>al triangolo MNC; che quella del triangolo FDL al triangolo
<lb/>LDC: e per conseguenza che
<lb/>quella della V alla X, che ful il
<lb/>proposito.
<lb/>Si come mò si diuide il quadrangolo
<lb/>secondo la proportione
<lb/>data con la linea equidistante al suo lato AB; cosi può diuidersi
<lb/>con vna linea equidistante
<lb/>à qualunque altro lato suo, & è manifesto il proposito.
<lb/>PROPOSITION XV. PROBLEMA XV.
<lb/>Diuidere qualsiuolgia quadrangolo con vna
<lb/>linea equidistante ad vno de suoi diametri,
<lb/>secondo vna data proportione.
<lb/>Verbi gratia voglio diuidere il quadrangolo ABCD,
<lb/>secondo la proportione della M alla N, con vna linea
<lb/>equidistante al diametro suo AC.
<lb/>Perciòche tirarò il diametro BD,
<lb/>che tagli la A C nel punto E: e
<lb/>diuiderò la linea BD secondo la
<lb/>proportione della M alla N. Primieramente
<lb/>adunque cada la diuisione
<lb/>nel punto E; talche sia la medesima
<lb/>proportione quella della BE
<lb/>alla ED che quella della M alla N. Dico adunque che
<lb/>il diametro AC diuide il quadrangolo secondo che si propone.
<lb/>Perciòche la proportione del triangolo ABE al
<lb/>triangolo AED, è come la proportione della BE alla ED.
<pb n= "15 recto"/>
<lb/>Similmeute la proportione del triangolo BEC al triangolo
<lb/>E D C è come la proportione della BE alla ED.
<lb/>Congiungendo adunque serà la proportione del triangolo
<lb/>ABC al triangolo ADC, come la proportione della BE alla
<lb/>ED: e per conseguenza come la proportione della M
<lb/>alla N: che fu il proposito.
<lb/>Secondo caso. Cada la diuisione frà i punti B & E nel
<lb/>punto F; talche sia la medesima proportione quella della
<lb/> BF alla FD, che quella della M alla N. Alhora tirarò le
<lb/>due linee FA, FC: e serà la proportione de’ duo triangoli
<lb/>ABF, CBF congiunti insieme al quadrangolo AFCD;
<lb/>come la proportione della BF alla FD. Dal triangolo
<lb/>ABC adunque taglierò per la terza
<lb/>di questo il triangolo GBH -
<lb/>simile à lui, & eguale à i duo
<lb/>triangoli ABF, CBF congiunti
<lb/>insieme, con la linea GH equidistante
<lb/>alla linea AC. Dico
<lb/>adunque quella linea diuidere il
<lb/>quadrangolo secondo che si propone.
<lb/> Perciòche essendo il triangolo GBH eguale alla
<lb/>superficie ABCF; serà il triangolo AFC equale al quadrangolo
<lb/>AGHC. Aggiuntouisi adunque il triangolo ADC
<lb/>commune serà il quadrangolo AFCD eguale al pentagono
<lb/>AGHCD. La proportione adunque del triangolo GBH
<lb/>al pentagono AGHCD è come la proportione della
<lb/>superficie ABCF al quadrangolo AFCD: e per conseguenza
<lb/>come la proportione della M alla N: che fu il
<lb/>proposito.
<lb/>Terzo caso. Cada mò la diuisione frà i punti E & D
<lb/>nel punto O; talche la proportione della BO alla OD sia
<lb/>come quella della M alla N. Alhora tirarò le due linee
<lb/>OA OC serà adunque la proportione del quadrangolor
<lb/>ABCO alla superficie AOCD, come la proportione
<pb n= "15 verso"/>
<lb/>della BO alla OD: e per conseguenza come quella della
<lb/>M alla N. Taglierò adunque per la 3 di questo dal triangolo
<lb/>ACD il triangolo KLD simile à se, & eguale alla
<lb/>superficie AOCD, con la linea KL equidistante alla linea
<lb/>AC. Dico adunque ch'ella diuide il quadrangolo secondo
<lb/>che si propone. Perciòche il triangolo AOC è vguale al
<lb/>quadrangolo ACLK. Adunque
<lb/>il quadrangolo ABCO è
<lb/>vguale al pentagono ABCLK:
<lb/>& il triangolo KLD eguale al
<lb/>la superficie AOCD. La
<lb/>proportione adunque del pentagono
<lb/>ABCLK al triangolo KLD,
<lb/>è come la proportione del
<lb/>quadrangolo ABCO alla superficie AOCD: e per conseguenza
<lb/>come la proportione della M alla N: che fu il proposito.
<lb/>Nel medesimo modo faremo per diuidere il quadrangolo
<lb/>ABCD secondo la proportion data con vna linea
<lb/>equidistante al suo diametro BD: & è manifesto il proposito .
<lb/>PROPOSITION XVI. PROBLEMA XVI.
<lb/>Dividere qualsiuoglia quadragolo con vna
<lb/>linea equidistante ad vna linea assegnata
<lb/>nel quadrangolo, la quale ne sia equidistante
<lb/>ad alcuno de’ lati suoi, ne ad alcuno de’
<lb/>suoi diametri, secondo vna data proportione.
<lb/> Come verbi gratia voglio diuidere il quadrangolo
<lb/>ABCD secondo la proportione della V alla X, con vna
<lb/>linea equidistante alla linea AE. Perciòche tiratò i duo diametri
<pb n= "16 recto"/>
<lb/>AC, ED, che si taglino insieme nel punto O. Dopoi
<lb/>tirarò la linea BC per lo dritto fino al punto F; tanto
<lb/> che sia la proportione della EC alla CF, come la
<lb/>proportione della EO alla OD: e tirarò la linea A F. Alhora
<lb/>diuidero la linea BF secondo la proportione della V alla
<lb/>X. e prima cada la diuisione nel punto E; talche sia la
<lb/>proportione della BE alla E F, come quella della V alla X.
<lb/>Dico adunque che la linea A E diuide il quadrangolo
<lb/>secondo che si propone. Perciòche la proportione del triangolo
<lb/>AEC al triangolo ACD, è
<lb/>come la proportione della E O
<lb/>alla OD. Adunque è come la
<lb/>proportione della EC alla CF: e
<lb/>per conseguenza come la proportione
<lb/> del triangolo A E C al triangolo
<lb/> ACF. Adunque i triangoli
<lb/>ACF, & A CD sono eguali.
<lb/>Tutto il quadrangolo adunque
<lb/>A EC D è vguale à tutto il triangolo A E F. La
<lb/>medesima proportione adunque è quella del triangolo ABE al
<lb/>quadrangolo A E C D, che al triangolo A E F. Mà
<lb/>la proportione del triangolo AB E al triangolo AEF,
<lb/>è come la proportione della V alla X. Adunque la
<lb/>proportione del triangolo A B E al quadrangolo AECD,
<lb/>è come la proportione della V alla X: che fu il proposito.
<lb/>Secondo caso. Cada poi la diuisione frà i punti B &
<lb/>E, nel punto G; talche sia la proportione della B G
<lb/>alla GF, com’è quella della V alla X. Alhora tirarò
<lb/>la linea AG: e tagliero per la 3 di questo dal triangolo
<lb/>A B E il triangolo HBK simile à se, & eguale al triangolo
<lb/>A BG, con la linea H K equidistante alla linea
<lb/>A E. Alhora dico essa diuidere il quadrangolo secondo
<lb/>che di propone . Perciòche il quadrangolo
<pb n= "16 verso"/>
<lb/>AH KE restante del triangolo ABE, eguale al triangolo
<lb/>AGE restante del medesimo ABE. Mà il quadrangolo
<lb/>AECD ancora è vguale al triangolo AEF. Adunque il
<lb/>pentagono AHKCD è vguale al triangolo AGF. La
<lb/>medesima proportione adunque
<lb/>è quella del triangolo H B K
<lb/>al pentagono AHKCD, che
<lb/>quella del triangolo A B G al
<lb/>triangolo AGF. Adunque è
<lb/>come quella della B G alla G
<lb/>F: e per conseguenza come
<lb/>quelladella V alla X : che fu
<lb/>il proposito.
<lb/>Terzo caso. Cada mò diuisione frà i punti E & F.
<lb/>Perche adunque la AE non è equidistante alla CD;
<lb/>tirarò da vno de’duo angoli D, C vna linea dentro al quadrangolo
<lb/>equistante alla linea AE: la quale per essempio sia
<lb/>la linea D M: e tirarò la linea AM che tagli la linea
<lb/>E D nel punto N. Farò poi la proportione della L M
<lb/>alla M E secondo la proportione della DN alla NE: e
<lb/>questo si può fare in vn
<lb/>subito, tirando la linea DL
<lb/>equidistante alla linea AM.
<lb/>Caderà adunque il punto
<lb/>L di quà dal punto F,
<lb/>per questo che se la linea DF
<lb/>fosse tirata, sarebbe
<lb/>equidistante alla linea AC.
<lb/>Alhora tirarò la linea AL
<lb/>Serà adunque il triangolo A E L eguale al quadrangolo
<lb/>AEMD. Diuidasi adunque la linea BF secondo la
<lb/>proportione della V alla X: e cada hora la diuisione frà i punti
<lb/>E & L nel punto R; talche sia la medesima proportione
<lb/>quella della BR alla RF, che quella della V alla X. Tirarò
<pb n= "17 recto"/>
<lb/> poi per la 10 di questo la linea PQ equidistante alla linea AE;
<lb/>talche la superficie A EQP sia eguale al triangolo AER. e
<lb/>per che il triangolo AEL è maggiore del triangolo AER, &
<lb/>il triangolo AEL è vguale al quadrangolo AEMD; serà
<lb/>perciò il quadrangolo A EQP minore del quadrangolo
<lb/>AEMD. Dico adunque che la linea P Q diuide il
<lb/>quadrangolo A B C D secondo che si propone La ragione.
<lb/>Perche il quadrangolo AECD è vguale al triangolo AEF,
<lb/>& il quadrangolo AEQP è vguale al triangolo AER.
<lb/>Adunque il quadrangolo P QCD restante è vguale al
<lb/>triangolo ARF restante. Similmente perche il quadrangolo
<lb/>AEQP è vguale al triangolo A E R; aggiuntouisi il
<lb/>triangolo A BE commune; serà il quadrangolo A B QP
<lb/>eguale al triangolo ABR. è adunque la medesima
<lb/>proportione quella del quadrangolo ABQP al quadrangolo
<lb/>PQCD, che quella del triangolo ABR al triangolo A R F.
<lb/>Adunque è come quella della BR ancora alla RF: e per
<lb/>conseguenza come quella della V alla X: che fu il proposito.
<lb/>Quarto caso. Cada poi la diuisione nel punto L; talche sia
<lb/>la medesima proportione quella della BL alla LF, che quella
<lb/>della V alla X. Alhora dico che la linea DM diuide il
<lb/>quadrangolo secondo che si propone. Perciòche il triangolo
<lb/>A EF è vguale al
<lb/>quadrangolo AECD:
<lb/>& il triangolo AEL è
<lb/>vguale al quadrangolo
<lb/>AEMD. Adunque
<lb/>il triangolo A L F
<lb/>restante, è vguale al triangolo
<lb/>Dмс restante .
<lb/>Similmente perche il quadrangolo AEMD è vguale al
<lb/>triangolo A EL; aggiuntouisi il triangolo ABE commune;
<lb/>serà il quadrangolo ABM D eguale al triangolo ABL.
<lb/>La medesima proportione adunque è quella del quadrangolo
<pb n= "17 verso"/>
<lb/>ABM D al triangolo D M C, che quella del triangolo
<lb/>A B L, al triangolo A LF, e per conseguenza è come
<lb/>quella della V alla X che fu il proposito.
<lb/>Quinto caso. Cada mò la diuisione frà i punti L & F
<lb/>nel punto Y; talche sia la medesima proportione quella
<lb/>della BY alla YF che quella della V alla X: e tirarò la linea
<lb/>A Y. Perche adunque il triangolo DMC è vguale al
<lb/>triangolo ALF, & il triangolo ALF è maggiore del triangolo
<lb/>AYF; serà il triangolo DMC maggiore del triangolo
<lb/>AYF. Taglierò
<lb/>adunque dal triangolo
<lb/>DMC per la terza di
<lb/>questo il triangolo
<lb/>STC simile à se, &e
<lb/>eguale al triangolo
<lb/>AY F, con la linea ST
<lb/>equidistante alla linea
<lb/>DM. Dico adunque che la linea ST diuide il quadrangolo
<lb/>secondo che si propone. Perciòche essendo il triangolo
<lb/>DMC eguale al triangolo ALF, & anche il triangolo
<lb/>STC eguale al triangolo A YF; serà il quadrangolo DMTS
<lb/>restante, eguale al triangolo restante ALY. Essendo
<lb/>adunque il quadrangolo ABMD eguale al triangolo ABL;
<lb/>ferà il pentagono ABTSD eguale al triangolo ABY. La
<lb/>medesima proportione adunque è quella del pentagono ABTSD
<lb/> al triangolo STC; che quella del triangolo ABY al triangolo
<lb/>A Y F. Adunque è come quella della BY alla Y F ancora:
<lb/>e per conseguenza come quella della V alla X: e questo
<lb/>è quello, che volemmo dimostrare.
<lb/>E mò da notarsi che si come si diuide vn quadrangolo
<lb/>con vna linea equidistante ad vna linea tirata si da vn
<lb/>angolo suo, la quale ne sia equidistante à i suor lati, ne à i
<lb/>suoi diametri; cosi si può diuidere con vna linea equidistante
<lb/>ad vna linea non tirata da angolo assegnato: come
<pb n= "18 recto"/>
<lb/>tirando vna linea da qualche angolo del quadrangolo,
<lb/>la quale cada dentro dal quadrangolo, e sia equidistante
<lb/>ad vna linea assegnata; & alhora operaremo secondo
<lb/>che di già hauemo insegnato.
<lb/>PROPOSITION XVII. PROBLEMA XVII.
<lb/>Diuidere qualsiuoglia noto pentagono con
<lb/>una linea tirata da qualsiuoglia angolo suo,
<lb/>secondo vna data proportione.
<lb/>Verbi gratia voglio diuidere il pentagono A B C D E
<lb/>secondo la proportione della P alla Q con vna linea tirata
<lb/>dall'angolo suo A. Tirarò le due linee AC, AD: e
<lb/>dall'angolo B tirarò la linea B F
<lb/>equidistante alla linea AC; finche
<lb/>concorra con la linea DC
<lb/>allungatasi, nel punto F. Similmente
<lb/>dall'angolo E tirarò la linea EG
<lb/>equistante alla linea AD; finche
<lb/>concorra con la linea CD
<lb/>allungatasi, nel punto G. Alhora
<lb/>tiraresi le linee AF, AG; serà il triangolo
<lb/>AFG eguale al pentagono ABCDE, per questo che
<lb/>il triangolo ABC è vguale al triangolo AFC, & il triangolo
<lb/>AED è vguale al triangolo AGD. Aggiuntosi lo
<lb/>CD commune all’vno & all'altro, si vede manifesto quello
<lb/>che dicemmo. Diuiderò adunque la linea FG secondo la
<lb/>proportione della P alla Q : e cada prima la diuisione frà i punti
<lb/>F & C nel punto H; talche sia la proportione della FH
<lb/>alla HG come la proportione della P alla Q Tirarò adunque
<pb n= "18 verso"/>
<lb/>la H K equidistante alla linea B F, finche toccherà la
<lb/>linea B C nel punto K. è adunque la medesima proportione
<lb/>quella della B K alla KC; che quella della F H alla HC per la
<lb/>seconda del sesto. Tiratasi poi la linea A K; dico essa
<lb/>diuidere il pentagono secondo che si propone. Perciòche
<lb/>tirarò la linea AH Perche adunque il triangolo AED
<lb/>è vguale al triangolo A G D :
<lb/>aggiuntouisi lo A CD commune;
<lb/>serà il quadrangolo A C D E
<lb/>eguale al triangolo A C G
<lb/>Similmente perche il triangolo
<lb/>AK C è vguale al triangolo AHC
<lb/>per l'equidistanza delle linee KH
<lb/>& A C; serà il pentagono A KC
<lb/>D E eguale al triangolo AHG. Similmente perche la
<lb/>medesima proportione è quella della B C alla BK, che
<lb/>quella della F C alla FH, serà la medesima proportione
<lb/>quella del triangolo A B C al triangolo A B K; che quella del
<lb/>triangolo A F C al triangolo A FH. Permutando adunque
<lb/>la medesima proportione è quella del triangolo A BC
<lb/>al triangolo A F C; che quella del triangulo A B K al
<lb/>triangolo AF H. Essendo adunque i triangoli A B C &
<lb/>A F C eguali; seranno eguali i triangoli A B K, & AFH.
<lb/>La medesima proportione adunque è quella del triangolo
<lb/>ABK al pentagono AKCDE, che quella del triangolo AFH
<lb/>al triangolo A HG. Adunque è come quella della F H alla
<lb/>HG ancora, e per conseguenza come quella della P alla
<lb/>Q: che fu il proposito.
<lb/>Secondo caso. Cada poi la diuisione nel punto C; talche -
<lb/>sia la medesima proportione quella della F C alla F
<lb/>G, che quella della P alla Q. Alhora dico che la linea AC
<lb/>diuide il pentagono secondo che si propone. Perciòche
<lb/>come si è mostrato di sopra, il quadrangolo AC D E è
<lb/>vguale al triangolo ACG: & il triangolo ABC è vguale
<pb n= "19 recto"/>
<lb/> al triangolo A FC. Adunque la medesima proportione
<lb/>è quella del triangolo A B C al quadrangolo A C
<lb/>D E ; che quella del triangolo A F C al triangolo A
<lb/>C G. Adunque è come quella della FC alla CG, e per
<lb/>conseguenza come quella della P alla Q : che fù il proposito.
<lb/>Terzo caso. Cada mò la diuisione nel punto L frà i
<lb/>punti C & D; talche sia la proportione della F L alla LG,
<lb/>come quella della P alla Q. Tirarò adunque la linea A L:
<lb/>la quale dico diuidere il pentagono secondo che si propone.
<lb/>Perciòche essendo il triangolo A B C eguale al triangolo
<lb/>AFC; aggiuntouisi lo ACL commune; serà il quadrangolo
<lb/>A B CL eguale al
<lb/>triangolo AFL Similmente
<lb/>posto il triangolo AL D
<lb/>insieme con l’vno e con l'altro
<lb/>triangolo A E D, AGD,
<lb/>serà il quadrangolo ALDE
<lb/>eguale al triangolo ALG.
<lb/>La medesima proportione
<lb/>adunque è quella del quadrangolo A B C L al quadrangolo
<lb/>A L D E, che quella del triangolo A F L al triangolo
<lb/>A LG. Adunque è come quella della F L alla LG, e per
<lb/>conseguenza come quella della P alla Q : che fù il proposito.
<lb/>Quarto caso Cada poi la diuisione nel punto D: Alhora
<lb/>dico che la linea A D diuide il pentagono secondo che
<lb/>si propone, & è manifesto il proposito, come si manifestò
<lb/>quando cadde la diuisione nel punto C.
<lb/>Quinto caso. Cada mò la diuisione frà i punti D & G
<lb/>nel punto M, talche sia la medesima proportione quella
<lb/>della F M alla M G, che quella della P alla Q. Alhora
<lb/>drizzerò la linea MN equidistante alla linea GE; finche
<lb/>toccherà la linea D E nel punto N: e tirrarò la AN,
<pb n= "19 verso"/>
<lb/>la quale dico diuidere il pentagono secondo che si propone.
<lb/>Perciòche tiratasi la linea AM s’arguisce come di
<lb/>sopra nel primo caso, che il triangolo A E N è vguale al
<lb/>triangolo AGM: e che
<lb/>il pentagono ABCDN
<lb/>è vguale al triangolo
<lb/>A F M. è adunque la -
<lb/>medesima proportione
<lb/>quella del pentagono
<lb/>ABCDN al triangolo
<lb/>ANE, che quella
<lb/>del triangolo AFM al triangolo AMG. Adunque è come
<lb/>la proportione della FM ancora alla MG: e per conseguenza
<lb/>come quella della P alla Q : che fu il proposito.
<lb/>PROPOSITION XVIII. PROBLEMA XVIII.
<lb/>Diuidere con vna linea tirata da vn punto
<lb/>assegnato in vn lato d’un noto pentagono,
<lb/>il detto pentagono secondo vna nota
<lb/>proportione.
<lb/>Verbi gratia voglio diuidere il pentagono АвсDE
<lb/>secondo la proportione
<lb/>della V alla X,
<lb/>con vna linea tirata
<lb/>dal punto F assegnatosi
<lb/>nel lato suo AB.
<lb/>Perciòche tirarò le linee
<lb/>FC, FD, FE: e
<lb/>tirarò la linea B G
<lb/>equidistante alla linea FC, e la linea EH equidistante alla
<lb/>linea FD; finche concorrano con la linea CD allungatasi
<pb n= "20 recto"/>
<lb/>da vna parte e dall'altra, ne’punti G & H: è tirarò la linea
<lb/>AD la qual seghi la linea FE nel punto L. Dopoi tirarò
<lb/>la linea DH fino al punto K; finche sia la proportione
<lb/>della DH alla HK, come quella della DL alla LA : e
<lb/>questo si farà imaginandosi la linea AK tirarsi equidistante al
<lb/>la linea L H. Alhora
<lb/>tirarò le linee FG, FH,
<lb/>FK. Diuiderò adunque
<lb/>la linea GK secondo
<lb/>la proportione della V alla X: e cada prima
<lb/>la diuisione frà i
<lb/>punti G & C nel punto
<lb/>M; talche sia la medesima
<lb/>proportione quella della GM alla MK, che quella della
<lb/>V alla X. Diuiderò poi la linea BC nel punto N, con la
<lb/>linea MN equidistante alla linea BG: e serà la proportione
<lb/>della BN alla NC come la proportione della GM alla M
<lb/>C. Alhora tiratasi la linea FN; dico ch'ella diuide il pentagono
<lb/>secondo che si propone . La ragione. Perciòche
<lb/>la proportione del triangolo F D E al triangolo F A E è
<lb/>come la proportione della DL alla L.A. Adunque è come
<lb/>la proportione della DH alla HK ancora: la quale è come
<lb/>la proportione del triangolo D F H al triangolo H F K.
<lb/>La proportione adunque del triangolo FD E al triangolo
<lb/>FAE è come la proportione del triangolo DFH al triangolo
<lb/>H F K. Permutando adunque la proportione del
<lb/>triangolo DFE al triangolo DFH, è come la proportione
<lb/>del triangolo F A E al triangolo FHK. Mà i triangoli
<lb/>D F H & D F E sono eguali per l'equidistanza delle
<lb/>linee F D & E H. Adunque i triangoli FA E & FHK
<lb/>sono eguali. Il quadrangolo FD EA adunque è vguale al
<lb/>triangolo FDK. Aggiuntouisi adunque lo FCD commune;
<lb/>serà il pentagono FCDEA eguale al triangolo FCK.
<pb n= "20 verso"/>
<lb/>Poniamoci à mente questo Dall'altra parte tirarò la linea
<lb/>FM. Perche adunque il triangolo FBC è vguale al triangolo
<lb/>FGC: & la medesima proportione è quella della BN alla
<lb/>NC; che quella della GM alla MC; serà il triangolo FB
<lb/>N eguale al triangolo FGM, & il triangolo FNC eguale
<lb/>al triangolo FMČ. Congiungendo adunque manifesta cosa
<lb/>è che l'hessagono FNC D E A è vguale al triangolo
<lb/>M F K: & i triangoli FBN & FGM sono eguali. La medesima
<lb/>proportione adunque è quella del triangolo FBN all'hessagono
<lb/>FNCD EA, che quella del triangolo FGM al triangolo
<lb/>FMK. Adunque è come quella della linea GM alla linea
<lb/>MK ancora: e per conseguenza come quella della V
<lb/>alla X: che fu il proposito.
<lb/>Secondo caso. Cada poi la diuisione nel punto C; talche
<lb/>sia la medesima proportione quella della GC alla CK,
<lb/>che quella della V alla X. Dico adunque la linea FC diuidere
<lb/>il pentagono secondo
<lb/>che si propone.
<lb/>Perciòche essendosi
<lb/>già dimostrato che il
<lb/>pentagono FCDEA
<lb/>è vguale al triangolo
<lb/>ECK, e che il triangolo
<lb/>F B C ancora è
<lb/>vguale al triangolo FGC. è perciò la medesima
<lb/>proportione quella del triangolo FBC al pentagono FCDEA;
<lb/>che quella del triangolo FGC al triangolo FCK. è
<lb/>adunque come quella della linea G C ancora alla CK:
<lb/>e per conseguenza come quella della V alla X: che fu il
<lb/>proposito.
<lb/>Terzo caso. Cada mò la diuisione frà i punti C & D
<lb/>nel punto O; talche sia la medesima proportione quella
<lb/>della GO alla OK, che quella della V alla X. Dico adunque
<lb/>che la linea F O diuide il pentagono secondo che si
<pb n= "21 recto"/>
<lb/>propone. Perciòche aggiuntosi il triangolo FOD commune
<lb/>al quadrangolo FDEA, & al triangolo equale à lui
<lb/>FDK; serà il FO DE A eguale al triangolo
<lb/>FO K. Aggiuntosi similmente il triangolo FCG commune
<lb/>à i duo triangoli
<lb/>eguali FBC &
<lb/>F G C; serà il quadrangolo
<lb/> FBCO
<lb/>eguale al triangolo
<lb/>FGO. è adunque -
<lb/>la medesima
<lb/>proportione quella del
<lb/>quadrangolo FBCO al pentagono FODEA; che quella
<lb/>del triangolo FGO al triangolo FOK. Adunque è come
<lb/>quella della GO ancora alla OK: e per conseguenza come
<lb/>quella della V alla X: che fu il proposito.
<lb/>Quarto caso. Cada poi la diuisione nel punto D; talche
<lb/>sia la medesima proportione quella della GD alla
<lb/>DK; che quella della V alla X. Dico adunque che la linea
<lb/>FD diuide il pentagono secondo che si propone. Perciòche
<lb/> aggiuntosi il triangolo FCD commune à i triangoli
<lb/>eguali FBC, & FGC, si vede manifestamente la ragione.
<lb/>Quinto caso. Cada mò la diuisione frà i punti D & H
<lb/>nel punto P; talche sia la medesima proportione quella
<lb/>della GP alla PK, che
<lb/>quella della V alla X.
<lb/>Alhora diuiderò la linea
<lb/>DE nel punto Q
<lb/>con la linea PQ equidistante
<lb/> alla linea EH,
<lb/>serà adunque la medesima -
<lb/>proportione quella
<lb/> della DQ alla QE;
<lb/>che quella della DP alla PH, Tiratasi adunque la linea
<pb n= "21 verso"/>
<lb/>EQ; Dico ch'ella diuide il pentagono secondo che si propone.
<lb/>Perciòche tutto il quadrangolo FD E A è vguale
<lb/>à tutto il triangolo F DK. Ma il triangolo FD Q ancora
<lb/>è vguale al triangolo BDP. Adunque il quadrangolo
<lb/>F Q E A restante è vguale al triangolo restante EP Ꮶ.
<lb/>Il quadrangolo F B C D ancora è vguale al triangolo -
<lb/>Ꮐ Ꭰ. Aggiuntosi adunque
<lb/>il triangolo F D A
<lb/>al triangolo FBCD: & aggiuntosi
<lb/>il triangolo FDP eguale al triangolo F DQ,
<lb/> al triangolo FGD;
<lb/>è manifesto che
<lb/>il pentagono F B C DQ è vguale al triangolo FGP. La
<lb/>medesima proportiorie adunque è quella del pentagono
<lb/>F B C DQ al quadrangolo FQE A; che quella de triangolo
<lb/>FGP al triangolo FPK: e per consequenza è come
<lb/>la proportione della v alla x : che fù il proposito.
<lb/>Sesto caso. Cada poi la diuisione nel punto H. Dico
<lb/>adunque che la linea F E diuide il pentagono secondo
<lb/>che si propone. Perciòche essendo il quandrangolo FBCD
<lb/>eguale al triangolo FGD: & il triangoło A FE (come
<lb/>s’è detto di sopra) eguale al triangolo FHK: & il triangolo
<lb/>F D E eguale al triangolo FDH; il pentagono
<lb/>FBC D E è perciò eguale al triangolo F GH è adunque la
<lb/>medesima proportione quella del pentagono FBCDE al
<lb/>triangolo FA È; che quella del triangolo F G H al triangolo
<lb/>F HK. Adunque è anche com; è quella della G H alla
<lb/> HK: e per conseguenza com’è quella dellaV alla x : che
<lb/>fù il proposito.
<lb/>Settimo caso. Cada mò la diuisione ftà i punti H&K
<lb/>nel punto R; talche sia la medesima proportione quella
<lb/>della GR alla R K, che quella della V alla X. Alhora diuiderò
<pb n= "22 recto"/>
<lb/>la linea E A nel punto S; talmente che sia la
<lb/>medesima proportione quella della E S alla SA, che quella
<lb/> della H R alla R K. Dico adunque che la linea FS
<lb/>diuide il pentagono secondo che si propone. Perciòche
<lb/>essendo il triangolo A FE eguale al triangolo F H K; e la
<lb/>proportione della ES alla SA, è come la proportione
<lb/>della HR alla R K; serà il triangolo F E S eguale al triangolo
<lb/>FHR: & anco
<lb/>il triangolo F S A equale
<lb/>al triangolo FRK. Mà il pentogono
<lb/>FBCDE ancora è vguale al triangolo
<lb/> F G H. Adunque
<lb/>l'hessagono F BCDES
<lb/> è vguale al triangolo F G R. La medesima proportione adunque è quella dell'hessagono FB CD ES al
<lb/>triangolo FSA; che quella del triangolo FGR al
<lb/>triangolo FRK Adunque è anco come quella della linea GR
<lb/>alla linea R K: e per conseguenza come quella della V
<lb/>alla X: che fù il proposito.
<lb/>PROPOSITION XIX. PROBLEMA XIX.
<lb/>Diuidere vn pentagono di duo lati equidistante
<lb/> con vna linea equidistante à i suoi lati
<lb/>equidistanti, secondo vna data proportione.
<lb/>Verbi gratia voglio diuidere il pentagono A B C D E
<lb/>secondo la proportione della Q alla R, oon vna linea
<lb/>equidistante al suo lato AR : ilquale lato poi ouero è
<lb/>equidistante al lato C D, onero al lato D E. Sia
<lb/>prima equidistante adunque al lato CD. Alhora tirarò
<pb n= "22 verso"/>
<lb/>la linea EF equidistante al lato AB: e tirarò le linee EB,
<lb/>& EC. Dopoi tirarò la linea AG equidistante alla linea
<lb/>EB: e la linea DH equidistante alla linea EC; finche con
<lb/>corrano con la linea BC allungatasi dall'vna parte e dall'
<lb/>altra, ne’punti G & H. Dopoi. diuiderò la linea GH secondo
<lb/>la proportione della Q alla R: e prima cada la diuisione
<lb/> nel punto F. Dico adunque che la linea EF diuide il
<lb/>pentagono secondo che si propone. La ragione. Perciòche
<lb/> essendo la linea AG equidistante alla linea EB, tiratasi
<lb/>la linea E G; serà il triangolo EAB eguale al triangolo
<lb/> EGB. Agguntouisi adunque
<lb/>il triangolo EBF commune;
<lb/>serà il triangolo EGF
<lb/>eguale al quadrangolo EA
<lb/>B F. Similmente per che la
<lb/>linea DH è equidistante alla
<lb/>linea EC, tiratasi la linea
<lb/>EH; serà il triangolo EDC
<lb/>eguale al triangolo EHC. Aggiuntouisi adunque il triangolo
<lb/> EFC commune serà il triangolo EFH eguale al quadrangolo
<lb/> EFCD; e prima fu eguale al quadrangolo ABFE
<lb/> il triangolo EGF. La medesima proportione adunque
<lb/>è quella quadrangolo ABFE al quadrangolo EFCD,
<lb/>che quella del triangolo EGF al EFH. è adunque
<lb/>come quella della linea GF alla FH: e per conseguenza
<lb/> come quella della Q alla R, che fù il proposito.
<lb/>Secondo caso. Cada poi la diuisione frà i punti G& F
<lb/>nel punto K; talche sia la proportione della GK alla KH,
<lb/>come quella della Q alla R. Alhora tirarò la linea E K.
<lb/>Perche adunque il triangolo EGK è minore del triangolo
<lb/>EGF: & il triangolo EGF è vguale al quadrangolo
<lb/>ABFE; serà il triangolo EGK minore del quadrangolo
<lb/>ABFE. Applicherò adunque alla linea AB per la 10 di
<lb/>questo la superficie AB LM eguale al triangolo EGK,
<pb n= "23 recto"/>
<lb/>con la linea LM equidistante alla linea A B. Dico adunque
<lb/> che la linea LM diuide il pentagono secondo che si
<lb/>propone. Perciòche il triangolo EGK è vguale al quadrangolo
<lb/> ABLM, e tutto il triangolo
<lb/> EGH è vguale à tutto
<lb/>il pentagono ABCDE.
<lb/>Adunque il triangolo EKH
<lb/>restante, è vguale al pentagono
<lb/>MLCDE restante. La
<lb/>medesima proportione adunque
<lb/> è quella quadrangolo
<lb/> ABLM al pentagano MLCDE; che quella del triangolo
<lb/> EGK al triangolo EHK, e per conseguenza è come
<lb/>quella della Q alla R che fu il proposito. -
<lb/>Terzo caso. Cada mò la diuisione frà i punti F & H,
<lb/>nel punto N: e tirisi la linea E.N. serà adunque il triangolo
<lb/> EHN minore del quadrangolo EFCD; per questo
<lb/>ch’egli è minore del EHF eguale ad esso. è perciò
<lb/>per la 10 di questo applicherò alla linea DC la superficie
<lb/>POCD eguale al triangolo EHN con la linea OP equidistante
<lb/> alla linea CD. Dico adunque che la linea OP diuide
<lb/>il pentagono secondo che
<lb/>si propone. Perciòche esendo
<lb/>il quadrangolo POCD
<lb/>eguale al triangolo E NH: e
<lb/>tutto il triangolo EGH eguale
<lb/> a tutto il pentagono ABCDE;
<lb/>serà il pentagono ABOPE
<lb/> restante eguale al triangolo restante
<lb/>EGN. è adunque la medesima
<lb/> proportione quella del pentagono ABOPE al
<lb/>quadrangolo POCD, che quella del triangolo EGN al triangolo
<lb/> ENH, e per conseguenza che quella della Q alla R:
<lb/>che fu il proposito. Similmente poi si come si diuide il
<pb n= "23 verso"/>
<lb/>pentagono A B C D E, il quale habbia i duoi lati AB
<lb/>CD equidistanti, formandosi la dimostratione sopra la
<lb/>linea B C opposta all'angolo E. posto frà i duo lati equidistanti;
<lb/> cosi posti i duo suoi lati A B, D E equidistanti;
<lb/>si diuiderà con vna linea equidistante alla A B, formandosene
<lb/> la dimostratione sopra il suo lato E A, opposto
<lb/>al suo angolo C, posto frà i duo suoi lati A B, D E equidistanti:
<lb/> & in qualsiuoglia modo è mani esto il proposito.
<lb/>PROPOSITION xx. PROBLEMA xx.
<lb/>Diuidere vn pentagono, del quale vn suo lato
<lb/> sia equidistante ad vn suo diametro, con
<lb/>vna linea equidistante à quel lato, & à quel
<lb/>diametro, secondo una data proportione.
<lb/>Verbi gratia voglio diuidere il pentagono - A- - B- C DE
<lb/>secondo la proportione della P alla Q, con vna linea
<lb/>equidistante al suo lato AB, il qual lato è equidistante al
<lb/>suo diametro CE. Perciòche tirarò la linea EB, & alla
<lb/>stessa E B poi tirarò equidistante la linea A F; e la DG
<lb/>equidistante alla linea EC; finche concorrano con la linea
<lb/>BC allungatasi
<lb/>dall’vna parte e dall'altra
<lb/>ne i punti F & G Tiratesi
<lb/>poi le linee E F & EG,
<lb/>serà il triangolo E F G
<lb/>eguale al pentagono A B
<lb/>C D E propostoci: com’è
<lb/>manifesto pe'l modo,
<lb/>con che si arguisce nella premessa. Diuiderò adunque
<lb/>la linea F G secondo la proportione della P alla Q.
<lb/>Cada adunque la diuisione ò nel punto C, ò nanzi al punto
<pb n= "24 recto"/>
<lb/>C, ò dopò il punto C. e cada prima nel punto C; talche
<lb/>sia la medesima proportione quella della FC alla CG,
<lb/>che quella della P alla Q. Dico adunque che la linea
<lb/>EC diuide il pentagono secondo che si propone. Perciòche
<lb/>il quadrangolo ABCE è vguale al triangolo _FC;
<lb/>per questo che il triangolo ECD restante è vguale al triangolo
<lb/>restante ECG: e tutto il pentagono eguale à tutto
<lb/>il triangolo. La medesima proportione adunque è quella
<lb/>del quadrangolo A BCF al triangolo ECD, che quella
<lb/>del triangolo EFC al triangolo ECG. è adunque come
<lb/>quella della FC alla CG ancora, e per conseguenza come
<lb/>quella della P alla Q: che fu il proposito.
<lb/>Secondo caso. Cada poi la diuisone frà i punti F &
<lb/>C nel punto H; talche sia la proportione della FH alla HG
<lb/>come quella della P alla Q. Perche adunque il
<lb/>quadrangolo ABCE è vguale al triangolo EFC: & il triangolo
<lb/>_ F H è minore del triangolo E F G; serà il triangolo
<lb/>EPH minore del quadrangolo ABCE. Applicherò
<lb/>adunque alla linea AB per
<lb/>la 10 di questo il quadrangolo
<lb/>ABKL eguale al triangolo
<lb/>GFH, con la linea KL -
<lb/>equidistante alla linea AB.
<lb/>Dico adunque la stessa linea -
<lb/>K L diuidere il pentagono
<lb/>secondo che si propone.
<lb/>Perciòche essendo tutto quel pentagono eguale à tutto
<lb/>il triangolo EFG, & il quadrangolo ABKL è vguale al
<lb/>triangolo E FH; serà il pentagono LKCD E restante eguale
<lb/>il triangolo EFG restante. La medesima proportione
<lb/>adunque è quella del quadrangolo ABKL al pentagano
<lb/>LKCDE, che quella del triangolo EFH al triangolo EHG.
<lb/>Adunque è come quella della FH alla HG ancora: e per
<lb/>conseguenza come quella della P alla Q : che fu il proposito.
<pb n= "24 verso"/>
<lb/>Terzo caso. Cada mò la diuisione frà i punti C & G,
<lb/>nel punto M; talche sia la medesima proportione quella
<lb/>della FM alla M G, che quella della P alla Q. Perche
<lb/>adunque il triangolo E D C è vguale al triangolo E G C :
<lb/>& il triangolo E M C è minor del triangolo EG C; serà
<lb/>per questo il triangolo EM C minore del triangolo ED
<lb/>C. Applicherò adunque alla linea E C il quadrangolo E
<lb/>C N O eguale al triangolo E MC, con la linea NO
<lb/>equidistante alla linea E C,
<lb/>secondo che ne insegna la
<lb/>10 di questo: ouero, che
<lb/>è il medesimo, taglierò
<lb/>per la terza di questo il
<lb/>triangolo D O N dal
<lb/>triangolo DEC simile à
<lb/>se, & eguale al triangolo
<lb/>EGM. Dico adunque che la linea N O diuide il
<lb/>pentagono secondo che si propone. Perciòche essendo tutto
<lb/>il pentagono A B C D E eguale à tutto il triangolo E F
<lb/>G: & il triangolo O N D eguale al triangolo EM G;
<lb/>serà l’hessagono A B CNO E restante eguale al triangolo
<lb/>E F M restante. La medesima proportione adunque è
<lb/>quella dall'hessagono ABCNOE al triangolo ON D; che
<lb/>quella del triangolo E F M al triangolo EMG. è adunque
<lb/> come quella della F M alla M G ancora, e per
<lb/>conseguenza come quella della P alla Q: che fù il proposito.
<lb/>Proposition XXI. THEOREMA I.
<lb/>Assegnatosi qualsiuoglia lato d’vn pentagono,
<lb/>che ne sia equidistante ad alcun lato
<lb/>suo, ne ad alcun suo diametro; si possano tirar
<lb/>dentro dal pentagono da duo qual si
<pb n= "25 recto"/>
<lb/>siano de’ tre angoli da nissuna parte
<lb/>congiunti al detto lato, due linee equidistanti
<lb/>à quel lato assegnatosi.
<lb/>Pongasi verbi gratia che nel pentagono ABCDE, il
<lb/>lato suo AE ne sia equidistante ad alcun lato suo, ne al
<lb/>suo diametro BD. Alhora dico che da quai duo angoli
<lb/>de gli tre B, C, D si siano, si possano tirare due linee
<lb/>dentro al pentagono, l'vna e l'altra delle
<lb/>quali serà equidistante al lato AE.
<lb/>Perciòche poiche le AE & BD
<lb/>non sono equidistanti, allungandole
<lb/>più, ò concorrerranno dalla
<lb/>parte A B, ò dalla parte E D.
<lb/>Se della parte A B; alhora la linea
<lb/>B F tirata dal punto B equidistante
<lb/>alla linea A E, necessariamente caderia sopra
<lb/>il lato E D, come nell'vna e nell'altra delle prime,
<lb/>figure di sopra. Mà se concorreranno dalle parte E D:
<lb/>Alhora la linea D G tiratasi dal punto D equidistante alla
<lb/> linea A E, di necessità caderà sopra il lato A B : come
<lb/>nell'vna, e nell'altra delle figure di sotto.
<lb/>Similmente se la A E, e la BD concorressero dalla parte
<lb/>A B, come nell’vna, e nell'altra delle figure di sopra;
<lb/>alhora poiche la linea BF, non è
<lb/>equidistante alla linea CD, ò concorreranno
<lb/>con essa dalla parte FD, ò dalla parte
<lb/>B C. Se dalla parte F D, come nella
<lb/>prima delle di sopra; Alhora dal punto ·
<lb/>D si può tirar la D H equidistante
<lb/>alla linea A E, che cada sù’l lato B C.
<lb/>Ma se le BF, e CD concorressero dalla
<lb/>parte BC come nella seconda delle di sopra; Alhora
<pb n= "25 verso"/>
<lb/>dal punto C si può tirare la CK equidistante alla linea
<lb/>A E, che cade su'l lato E D. Hauemo adunque le B F,
<lb/>DH equidistanti alla linea A E, nella prima figura delle
<lb/>di sopra: & hauemo le BF, CK equidistanti alla medesima
<lb/>linea nella seconda delle figure di sopra. -
<lb/>Mà se le AE, BD concorressero dalla parte ED, come
<lb/>nell'vna, e nell'altra delle figure di sotto; Alhora la linea
<lb/>DG, poi che non è equidistante alla linea BC, ò
<lb/>concorrerà con essa dalla parte
<lb/>GB, ò dalla parte DC. Se dalla
<lb/>parte della GB, come nella prima
<lb/>delle figure di sotto; alhora
<lb/>dal punto B si può tirare la B L
<lb/>equidistante alla linea: A E, e
<lb/>caderà su'l lato CD, Mà se le GD,
<lb/>e B C concorreranno dalla parte
<lb/>C D, come nella seconda delle
<lb/>figure di sotto; Alhora dal punto
<lb/>C si può tirare la CM equidistante alla linea AF,
<lb/>che cada su'l lato A B. Hauemo adunque le D G, &
<lb/>B L nella prima delle figure di
<lb/>sotto: е le D G, C M nella seconda
<lb/>delle figure di sotto: equidistanti
<lb/>alla linea A E, e cadenti
<lb/>dentro al pentagono. è manifesto
<lb/>adunque quanto voleuamo
<lb/>dimostrare.
<pb n= "26 recto"/>
<lb/>PROPOSITION XXII. PROBLEMA XXI.
<lb/>Diuidere vn pentagono con vna linea equidistante
<lb/>ad vn suo lato assegnatosi, ilqual lato
<lb/>à nissun’ altro lato suo, ne ad alcun suo
<lb/>diametro sia equidistante, secondo vna data
<lb/>proportione.
<lb/>Sia il lato AB del pentagono ABCDE, ne equidistante
<lb/>al diametro EC, ne ad alcuno de lati ED, CD. Voglio
<lb/>adunque diuiderlo secondo la proportione della Y alla
<lb/>Z, con vna linea equidistante al lato suo A B. Perciòche
<lb/>da duo de’ tre angoli C, D, E, tirarò due linee dentro al
<lb/>pentagono equidistanti al suo lato A B. Ouero adunque
<lb/>quelle due linee discendenti
<lb/> così da gli angoli,
<lb/>caderanno sopra il medesimo
<lb/>lato, ouero sopra
<lb/>lati opposti. Cadano
<lb/>adunque prima sopra i lati opposti: e siano le
<lb/>EF, CG, talche il punto F sia nel lato EC,
<lb/>& il punto G sia nel lato ED. Formerò la
<lb/>dimostratione
<lb/>adunque sopra il lato, su'l quale cade il parallelo più vicino
<lb/>alla linea AB: ciò è sopra il lato BC. Tirarò adunque |
<lb/>la linea EB, & EC. Dopoi tirarò la AH equidistante al
<lb/>la linea EP, e la linea DK equidistante alla linea EC; finche
<lb/>concorrano con la linea BC allungatasi più dalľvna,
<lb/>e dall'altra parte, ne’punti H & K: e tirarò le linee E H,
<lb/>& EK. Perche adunque il triangolo EAB è vguale
<lb/>al triangolo EHB: & il triangolo E-| DC triangolo è vguale al
<pb n= "26 verso"/>
<lb/>triangolo EKC; aggiuntouisi il triangolo E B C commune;
<lb/>serà il pentagono A B C D E eguale al triangolo E H
<lb/>K: E questo hà da tenersi à mente. Tirarò anche la linea
<lb/>G L equidistante alla linea E C : e tirarò la linea E L. Alhora
<lb/>diuiderò la linea H K secondo la della Y
<lb/> alla Z . Ouero adunque caderà la diuisione nel punto F,
<lb/>ò nel punto L, ouero frà i punti H & F, ò fra i punti F
<lb/>& L, ò frà i punti L & K. Cada adunque prima nel punto
<lb/> F ; Talche sia la medesima - -
<lb/>proportione quella
<lb/>della HF alla F H, che
<lb/>que la della Y alla Z. Dico
<lb/>adunque che la linea
<lb/>EF diuide il pentagono
<lb/>secondo che si propone.
<lb/>Perciòche il quadrangolo |
<lb/>E A B F è vguale al triangolo
<lb/> E H F : & il quadrangolo E D C F è vguale al triangolo
<lb/>EKF. è adunque la medesima proportione quella
<lb/>del quadrangolo EABF al quadrangolo EDCF, che quella
<lb/>del triangolo E H F al triangolo E K F. Adunque è come
<lb/>quella della HF alla FK ancora: e per conseguenza
<lb/>come quella della Y alla Z: che fù il proposito.
<lb/>Secondo caso. Cada poi la diuisione nel punto L. Dico
<lb/>adunque che la linea CG diuide il pentagono secondo
<lb/>che si propone. Perciòche essendo le linee EC & G L
<lb/>equidistanti; seranno i triangoli E GC, & E L C eguali.
<lb/>Mà i triangoli totali E D C, & EKC sono eguali. Adunque
<lb/>il triangolo GCD ancora è vguale al triangolo E LK.
<lb/> Il quadrangolo A B CE ancora è vguale al triangolo
<lb/>EHC. Adunque il pentagono ABCGE è vguale al
<lb/>triangolo E H L. La medesima proportione adunque è quella
<lb/>del pentagono ABCGE al triangolo GCD, che quella del
<lb/>triangolo E HL al triangolo EL K. è adunque come quella della
<pb n= "27 recto"/>
<lb/>H L alla L K ancora, e per conseguenza come quella
<lb/>della Y alla Z: che fu il proposito.
<lb/>Terzo caso. Cada mò la diuisione frà i punti H & F
<lb/>nel punto M: e tirisi la linea E M. Perche adunque il
<lb/>triangolo EHF è vguale al quadrangolo E A B F : & il
<lb/>triangolo E H M è minore del triangolo E H F; serà perciò
<lb/>il triangolo EH M minore del quadrangolo EAB F.
<lb/>Applicherò adunque per la 10. di questo alla linea AB
<lb/>la superficie ABNO eguale
<lb/>al triangolo E H M con
<lb/>la linea N O equidistante
<lb/>alla linea AB. Dico adunque
<lb/>la linea NO diuidere
<lb/>il pentagono secondo
<lb/>che si propone. Perciòche
<lb/>il pentagono ABCDE è
<lb/>vguale al triangolo EHK: & il quadrangolo ABNO è
<lb/>vguale al triangolo E H M. Adunque il pentagono
<lb/>ONCDE restante è vguale al triangolo EM K restante. La
<lb/>medesima proportione adunque è quella del quadrangolo
<lb/>ABNO al pentagono ONCDE; che quella del triangolo
<lb/>EH M al triangolo E M K. Adunque è come quella
<lb/>ancora della HM alla MK: e per conseguenza come quella
<lb/>della Y alla Z: che fù il proposito.
<lb/>Quarto caso. Cada
<lb/>poi la diuisione frà
<lb/>i punti F, & L nel punto
<lb/>P : e tirisi la linea
<lb/>E P. Perche adunque
<lb/>il triangolo E F L è
<lb/>vguale al quadrangolo
<lb/>EFP è minore del triangolo EFL; serà il triangolo
<lb/>EF P minore del quadrangolo EFCG. Applicherò adunque
<pb n= "27 verso"/>
<lb/>alla linea EF per la 10 di questo il quadrangolo
<lb/>EPQR eguale al triangolo EFP, con la linea QR
<lb/>equidistante alla linea EF. Dico adunque che la linea QR
<lb/>diuide il pentagono secondo che si propone. Perciòche
<lb/>il triangolo E H P è vguale al pentagono ABQRE, e
<lb/>tutto il pentagono
<lb/>ABCDE è vguale à
<lb/>tutto il triangolo E
<lb/>H K. Adunque R Q
<lb/>CD, restante è
<lb/>vguale al triangolo E
<lb/>P K. La medesima
<lb/>proportione adunque
<lb/>è quella del pentagono ABQRE al quadrangolo R
<lb/>QCD; che quella del triangolo EHP al triangolo EPK.
<lb/>Adunque è come quella ancora della HP alla PK, e
<lb/>per conseguenza come quella della Y alla Z: che fu il
<lb/>proposito.
<lb/>Quinto caso Cada mò la diuisione frà i punti L & K,
<lb/>nel punto S. Perche adunque per l'equidistanza delle
<lb/>linee EC & GE i triangoli EGC & B LC sono eguali,
<lb/>& i triangoli totali. EDC, & EKC sono anco
<lb/>eguali; seranno per ciò triangoli GDG, & EKL restanti
<lb/>eguali. Mà tiratasi la linea
<lb/> ES, i triangolo EK
<lb/> S è minore del triangolo
<lb/>EKL. Il triangolo E
<lb/>KS adunque è minore
<lb/>del triangolo GDC. Per
<lb/>la terza di questo adunque
<lb/>taglierò da triangolo
<lb/>GDC il triangolo TDV simile à se, & eguale al triangolo
<lb/>EKS; con la linea TV equidistante a la linea GC
<pb n= "28 recto"/>
<lb/>Dico adunque che la linea TV diuide il pentagolo secondo
<lb/>che si propone. Perciòche tutto il pentagono ABCDE
<lb/>è vguale à tutto il triangolo EHK, & il triangolo TDV equale al triangolo
<lb/>EKS. Adunque l'hessagono
<lb/>ABCVTE restante
<lb/>è vguale al triangolo
<lb/>EHS restante. La medesima
<lb/>proportione adunque -
<lb/>è quella dell'hessagono
<lb/>ABCVTE al triangolo
<lb/>TDV, che quella del triangolo EHS, al triangolo EKS.
<lb/>Adunque è come quella della HS alla SK ancora: e per
<lb/>conseguenza come quella della Y alla Z : che fu il proposito.
<lb/>Mà se le due linee EF & CG, lequali sono equiditanti
<lb/>alla linea A B caderanno in modo;
<lb/>che la linea E F cada su’l lato
<lb/>CD, e la linea CG sopra il lato A
<lb/>E; alhora voltaremo in su l'angolo
<lb/> C, e formaremo la dimostratione
<lb/>sopra la linea A E; si come la
<lb/>formammo sopra la linea BC, e
<lb/>verremo su’l nostro proposito come prima.
<lb/>Mà se le due linee lequali si sono tirate equidistanti
<lb/>allinea AB cadano sopra vno e medesimo lato; alhora
<lb/>formerò la dimostratione sopra quel lato. Come Verbigratia
<lb/>pongasi che nel pentagono A B C D E le due linee
<lb/>EF & DG tiratesi equidistanti alla linea AB, cadano
<lb/>sopra il lato BC. Alhora tirarò la AH equidistante alla
<lb/>linea E B, e la D K equidistante alla linea E C. Tiranò
<lb/>ancora la linea EG: & equidistante ad essa la linea DL:
<lb/>e tirarò poi le linee EH, EL, & EK. è manifesto adunque per le
<lb/>premesse, che il triangolo EHK è vugale al pentagono ABCDE:
<lb/>e che il triangolo EHL è vguale al pentagolo ABGDE:
<pb n= "28 verso"/>
<lb/>e cosi rimane che il triangolo DGC è vguale al triangolo
<lb/>ELK. E queste cose deuonsi tenere à memoria. Diuiderò
<lb/>adunque la linea HK secondo la proportione della Y alla
<lb/>Z: e caderà la diuisione ò nel punto F. ò nel punto L: ouero
<lb/>frà quelli, ò frà quelli e gli estremi. Cada prima adunque
<lb/>la diuisione nel punto F; talche sia la proportione
<lb/>della H F alla F K,
<lb/>com’è quella della Y
<lb/>alla Z. Dico adunque
<lb/>che la linea EF diuide
<lb/>il pentagono secondo
<lb/>che si propone. Perciòche
<lb/>il quadrangolo A
<lb/>B FE è vguale al triangolo
<lb/>E H F, & il quadrangolo -
<lb/>EFCD è vguale al triangolo EFK. La medesima
<lb/>proportione adunque è quella del quadrangolo A BPE al
<lb/>quadrangolo EF CD, che quella del triangolo EHF al triangolo E F
<lb/>K: e per conseguenza che quella della Y alla Z: che fu il proposito.
<lb/>Secondo caso. Cada poi la diuisione nel punto L. Dica
<lb/>adunque che la linea DG diuide il pentagono secondo
<lb/>che si propone. Perciòche essendo il triangolo E GD
<lb/>eguale al triangolo EGL: & il quadrangolo ABGE eguale
<lb/>al triangolo EHG; serà il pentagono ABGDB eguale al
<lb/>triangolo EHL. Mà il triangolo DGC ancora è vguale al
<lb/>triangolo ELK La medesima proportione adunque è quella
<lb/>del pentagono ABGDE al triangolo DGC; che quella
<lb/>del triangolo EHL al triangolo E LK. Adunque è come
<lb/>quella della H L alla LK ancora: e per conseguenza come
<lb/>quella della Y alla Z: che fu il proposito.
<lb/>Terzo caso. Cada mò la diuisione nel punto M, frà i
<lb/>punti H & F: e tiratasi la linea EM, formisi il quadrangolo
<lb/>ABNO per la 10 di questo eguale al triangolo E HM
<lb/>con la linea NO equidistante alla linea AB. Manifesto è
<pb n= "29 recto"/>
<lb/>adunque (come anco di sopra) che la proportione del
<lb/>quadrangolo ABNO
<lb/>al pentagono O
<lb/>NCDE, è come la
<lb/>proportione del
<lb/>triangolo E H M
<lb/>al triangolo E M
<lb/>K: e per conseguenza
<lb/> come quella
<lb/>della Y alla Z. La O N adunque diuide il pentagono
<lb/>secondo che si propone. - - -
<lb/>Quarto caso. Cada poi la diuisione frà i punti F& L nel
<lb/>punto P. Alhora tiratasi la linea EP facciasi il quadrangolo
<lb/>EFQR per la 10 di questo eguale al triangolo EFP. il
<lb/>pentagono A B
<lb/>QRE adunque
<lb/>è vguale al triangolo
<lb/>EHP. La
<lb/>medesima proportione adunque
<lb/>è quella del
<lb/>pentagono ABQ
<lb/>RE al quadranolo
<lb/>RQ C D; che quella del triangolo EHP al triangolo
<lb/>EPK. Adunque è come quella della HP alla PK ancora: e per
<lb/>conseguenza come quella della Y alla Z: che su il proposito.
<lb/>Quinto caso.
<lb/>Cada mò la diuisione
<lb/>nel punto S, frà i punti L
<lb/>& K; talche sia
<lb/>la medesima
<lb/>proportione quella
<lb/>della HS alla
<pb n= "29 verso"/>
<lb/>SK; che quella della Y alla Z. Perche adunque (come
<lb/>s'è detto di sopra) il triangolo DGC è vguale al triangolo
<lb/>ELK; serà il triangolo ESK minore del triangolo DG
<lb/>C. Taglierò adunque per la terza di questo dal triangolo
<lb/>DGC il triangolo TVG simile à se, & vguale al triangolo
<lb/>ESK, con la linea TV equidistante alla linea DG. Dico
<lb/>adunque che la linea TV diuide il pentagono secondo
<lb/>che si propone
<lb/>Perciòche essendo
<lb/>il triangolo T
<lb/>VC eguale al triangolo
<lb/>ESK, e
<lb/>tutto il pentagono
<lb/> ABCDE
<lb/>eguale à tutto il
<lb/>triangolo EHK;
<lb/>serà perciò l’hessagono A BVTDE eguale à tutto il triangolo
<lb/>EHS. La medesima proportione adunque è quella
<lb/>dell'hessagono ABVT DE al triangolo TVC; che quella
<lb/>del triangolo EHS al triangolo ESK: e per conseguenza
<lb/>è come quella dellaY alla Z: che fu il proposito.
<lb/>Mà se le due linee, che si seranno tirate equidistanti
<lb/>alla linea AB, cadano sopra il lato AB, secondo che cadono
<lb/>le linee CF, DG; Alhora voltaremo
<lb/>in su l'angolo C; e formaremo
<lb/>la dimostratione sopra la linea AE,
<lb/>come la farmammo sopra la linea
<lb/>BC, e verremo su'l nostro proposito
<lb/>come prima. è manifesto adunque
<lb/>quanto volemmo dimostrare.
<lb/>IL FINE
<pb n= "30 recto"/>
<lb/>BREVE TRATTATO
<lb/>Di M. FEDERICO
<lb/>COMMANDINO DA VRBINO
<lb/>INTORNO ALLA MEDESIMA
<lb/>MATERIА TRАDOTTO
<lb/>DAL MEDESIMO.
<lb/>PROBLEMA PRIMO.
<lb/>Da vn punto presosi nell'ambito d'vna figura
<lb/>rettilinea, ò in vn'angolo, ò in qualsiuoglia
<lb/>lato, tirare vna linea retta, che la
<lb/>diuida in parti c'habbiano vna data
<lb/>proportione .
<lb/>Intendo però hora per figura rettilinea quella,
<lb/>la quale da altretanti lati; da quanti angoli
<lb/>vien contenuta.
<lb/>Sia il triangolo A
<lb/>B C: e la proportion
<lb/>data sia quella che hà la
<lb/>D alla E: e bisogni prima
<lb/>tirar dal punto A
<lb/>vna linea retta, la qual
<lb/>diuida il triangolo
<lb/>secondo la proportione
<pb n= "30 verso"/>
<lb/>della D alla E. Taglisi la BC nel punto F per la 10 del
<lb/>sesto de gli elementi di Euclide; talmente che sia la BF alla
<lb/>FC come è la D alla E : e
<lb/>congiungasi la AF. Dico
<lb/>di già essersi fatto quanto
<lb/>si proponeua. Perciòche
<lb/>per la prima del sesto si
<lb/>com’è il triangolo ABF al -
<lb/>triangolo AFC; così è la
<lb/>BF alla FE: ciò èla D
<lb/>alla E.
<lb/>Piglisi dopoi nel lato AC del medesimo triangolo il
<lb/>punto G, dalquale bisogni tirare vna linea, che diuida il
<lb/>triangolo secondo la proportione della D alla E. Congiungasi
<lb/>la GB e dal punto A sulla linea retta GB allungatasi,
<lb/>tirisi la AF equidisante ad essa GB: e tiratasi la GF,
<lb/>taglisi la FC nel punto Н; talmente
<lb/>che la FH alla HC, habbia
<lb/>la medesima proportione
<lb/>che la D alla E. Ouero adunque
<lb/>il punto H cade nel punto
<lb/>B, ouerò frà i punti F, &
<lb/>B, ò pure frà i punti B, &C e se cade ne punto B, la
<lb/>linea retta GB sarà il problema. Perciòche it triangolo GHB
<lb/>al triangolo GBC, è come la FB alla BC, ciò è come la
<lb/>D alla E. Mà il triangolo ABG è vguale al triangolo G
<lb/>FB: essendo essi sulla medesima base, e frà le medesime
<lb/>parallele. Adunque i triangolo A _G al triangolo GBC hà la
<lb/>medesima proportione che il triangolo GFB ad esso GBC:
<lb/>ciò è la medesima che la D alla E.
<lb/>Mà se il punto H. cade frà i punti F & B, tirisi la linea
<lb/>retta HK equidistante ad essa GB : la quale seghi la AB
<lb/>nel punto K; e congiungansi le GH, GK. Dico la linea G
<lb/>K diuidere il triangolo come bisognaua. Perciòche di
<pb n= "31 recto"/>
<lb/>nuouo il triangolo ABG è vguale al triangolo GFB : &
<lb/>aggiuntosi il GBC commune all’vno & all altro; serà il
<lb/>triangolo ABC eguale il triangolo GFC. Mà il triangolo
<lb/>GKB ancora è
<lb/>vguale al triangolo
<lb/>GHB: onde il
<lb/>restante ancora è
<lb/>vguale al restante:
<lb/>ciò è il trangolo
<lb/>AKG al triangolo
<lb/>GFH: e per ciò
<lb/>il quadrilatero G
<lb/>KBC eguale al triangolo GHC. Il triangolo AKG adunque
<lb/>è al quadrilaterò GKBC, come il triangolo GFH al
<lb/>triangolo GHC: ciò è come la D alla E.
<lb/> Che se il punto H cade frà i punti B & C; tirisi la GH
<lb/>la quale similmente sarà il problema. Perciòche essendo
<lb/>i triangoli GFB, ABG eguali : aggiuntosi all'uno, &
<lb/>all'altro il triangolo G B H commune; serà il triangolo
<lb/>G F H eguale al
<lb/>quadrilatero AB
<lb/>H G. Adunque si
<lb/>com’è il triangolo
<lb/>G F H al triangolo
<lb/>GHC; ciò è com’è --
<lb/>la D alla E; cosi è
<lb/>il quadrilatero ABHG al triangolo GHC.
<lb/>Che se il punto si pigli in vn'altro angolo, ò in vn'altro
<lb/>lato, ci valeremo della medesima ragione à conchiudere
<lb/>il proposito.
<lb/>Sia il quadrilatero ò quadrangola ABCF: e bisogni
<lb/>diuiderlo con vna linea retta tirata dall'angolo : talmenteche
<lb/>le parti frà di loro habbiano la medesima proportione
<lb/>che hà D alla E. Congiungasi la AC: e da punto
<pb n= "31 verso"/>
<lb/>F tirisi la FG equidistante ad essa: la quale incontri la linea
<lb/> BC allungatasi, nel punto G: e congiungasi la AG.
<lb/>Serà il triangolo AC
<lb/>G eguale al triangolo
<lb/>ACF: & aggiuntosi all’uno
<lb/>& all'altro il triangolo
<lb/>ABC commune;
<lb/>serà il triangolo A
<lb/>BG eguale al quadrilatero
<lb/>ABCF. Diuidasi
<lb/>la BG nel punto H: e sia la BH alla HG, com’è la D alla E: e
<lb/>se il punto H cade nel punto C; serà di già fatto quellо
<lb/>che si proponeua. Perciòche il triangolo ABC al triangolo
<lb/>ACF hauerà la medesima proportione che al triangolo
<lb/>ACG: ciò è la medesima che D alla E.
<lb/>Mà se il punto H cade frà il punti B, & C; la AH tiratasi
<lb/>sarà il problema. Perciòche
<lb/>il quadrilatero AHCF è
<lb/>vguale al triangolo AHG il
<lb/>perche il triangolo ABH
<lb/>hauerà la medesima proprotione
<lb/>al quadrilatero
<lb/>AHCF, che al triangolo
<lb/>AHG: ciò è la medesima
<lb/>che la D alla E.
<lb/>Mà se cade frà i punti
<lb/>C & G, tiratasi di nuouo
<lb/>sopra la FC la HK
<lb/>equidistante ad essa AC:
<lb/>e congiuntesi le AH,
<lb/>AK; la linea retta AK
<lb/>diuiderà il quadrilatero
<lb/>secondo la data proportione
<lb/>Perciòche il triangolo
<pb n= "32 recto"/>
<lb/>ACK è vguale al triangolo ACH, Adunque il restante
<lb/>AKF ancora al restante AHG: & il quadrilatero ABC
<lb/>K serà eguale al triangolo ABH. Il quadrilatero ABCK
<lb/>adunque hà la medesima proportione al triangolo AKF; che
<lb/>il triangolo ABH al triangolo AHG: ciò è che la D alla E.
<lb/>Piglisi oltra di ciò nel lato AF qualsiuoglia punto, e sia
<lb/>L, dal quale bisogni tirarsi la linea retta, che diuida il
<lb/>quadrilatero secondo la proportion datasi della D alla E.
<lb/>Congiungansi le LB, LC: & allunghisi la BC dalľvna, e dall'
<lb/>altra parte: e sopra essa dal punto A tirisi la AM equidistante
<lb/>alla LB: e dal punto F tirisi la FN equidistante alla
<lb/>LC: e congiuntesi le LM, LN; serà per le cose mostratesi
<lb/>dianzi il triangolo LMC eguale al quadrilatero ABC
<lb/>L: e similmente il triangolo LCN al triangolo LCF, e tutti
<lb/>il triangolo LMN equale à tutto il quadrilatero ABCF.
<lb/>Diuidasi la MN nel punto
<lb/>O; talche la MO;
<lb/>alla ON habbia la
<lb/>medesima proportione
<lb/>che la D alla E,
<lb/>congiungasi la LO.
<lb/>Ilperche ouero il punto O cade sulla linea MC, ouero nella
<lb/>CN: e se cade nella MC, per le cose precedente diuderemo
<lb/>il quadrilatero ABCL con vna linea retta tiratasi
<lb/>dall'angolo L, la quale sia LP; talmenteche le parti habbiano
<lb/>quella proportione frà di loro, che hà la M O alla
<lb/>OC. Dico la linea retta LP diuidere il quadrilatero secondo
<lb/>che si proponeua. Perciòche ouero il punto P serà nella
<lb/>linea AB, ouero nella BC. Sia prima nella AB e perciòche
<lb/>il triangolo APL al quadrilatero LPBC hà quella proportione
<lb/>che hà la MO alla OC, ciò è che il triangolo LMO al triangolo
<lb/>LOC; hauerà componendo il quadrilatero ABCL: la medesima
<pb n= "32 verso"/>
<lb/>proportione al quadrilatero LPBC; che il triangolo
<lb/>EMC al triangolo LOC: e permutando ancora. Mà il triangolo
<lb/>EMC è vguale al
<lb/>quadrilatero ABCL. adunque
<lb/>il triangolo LOC ancora
<lb/>serà eguale al quadrilatero
<lb/>LPBC, & il triangolo LMO al triangolo
<lb/>APL: e Perciò il triangolo
<lb/>LON: restante al
<lb/>pentagono restante
<lb/>LPBCE. Si come adunque è il triangolo LMO al triangolo
<lb/>LON, ciò è com’è la MO alla ON, cosi serà il triangolo
<lb/>APL al pentagono LPB CF.
<lb/>Sia poi il punto P nella linea BC, come nell'altra figara
<lb/>Nel medesimo modo dimostraremo si
<lb/>come è la MO alla ON, cosi essere il quadrilatero ABPL al
<lb/>quadrailatero LPCF.
<lb/>Mà se il punto O cade nella linea CN; diuideremo il triangolo
<lb/>LСF con la linea retta LP; tamenteche il
<lb/>triangolo LCP
<lb/>al triangolo LPF habbia la medesima proportione, che la CO alla
<lb/>ON: e così serà fatto quanto bisognaua. Perciòche essendo
<pb n= "33 recto"/>
<lb/>il triangolo LC P al triangolo LP F, come la CO
<lb/>alla ON; ciò è come il triangolo LCO al triangolo LON;
<lb/>componendo il triangolo LCF cosi serà al triangolo
<lb/>LPF, come il triangolo LCN al triangolo LON: e permutando
<lb/> ancora. Mà il triangolo LCN è vguale al triangolo LCF,
<lb/> Adunque il triangolo L O N ancora serà vguale al
<lb/>triangolo LPF: & il triangolo LMO restante al pentagono
<lb/>A B C PL. Onde si come è il triangolo LM O al
<lb/>triangolo LON; ciò è come è la MO alla ON; ciò è la D
<lb/>alla E; cosi serà il pentagono ABCPL al triangolo LPF.
<lb/>Il quadrilatero ABCF adunque con vna linea retta tiratasi
<lb/>dal punto L, si è cosi diuiso; che le parti habbiamo la
<lb/>medesima proportione, che la proportion datasi: il che
<lb/>bisognaua farsi.
<lb/>Che se il punto datosi sia in vn’altro angolo, ouero in
<lb/>vn'altro lato di esso ABCF, conchiuderemo il proposito
<lb/>nel medesimo modo.
<lb/>Sia il pentagono ABCFG, il quale bisogni diuidere
<lb/>con vna linea retta tiratasi dall'angolo A, secondo la
<lb/>proportione, che hà - - - - - -
<lb/>la D alla E.
<lb/>Congiungansi
<lb/>le AC, A__ e da i punti B•
<lb/>G tirinsi sopra la C_ allungatasi
<lb/>dall' vna
<lb/>parte e dall'altra, le linee rette BH, C: delle quali la linea BH -
<lb/>sia equisidtante alla AC, e la GK ed essa AF. e congiuntosi
<lb/>le AH, AX; serà il triangolo AHF eguale al quadrilatero
<lb/> ABCF : & il triangolo APN al triangolo AFG, e
<lb/>tutto il triangolo _H_ eguale à tutto il pentagono AB
<lb/>CFG. Diuidasi la HK nel punto L, talmenteche la HL
<lb/>alla LK habbia la medesima proportione, che hà la D
<pb n= "33 verso"/>
<lb/>alla E. Ouero adunque il punto L, cade nella linea H F, {
<lb/>ouero nella FK. e se nella HF; diuidasi per le precedenti
<lb/>il quadrilatero ABCF con vna linea retta tiratasi dall’angolo
<lb/>A, la quale
<lb/>sia AM; talmenteche
<lb/>le
<lb/>parti habbiano
<lb/> quella proportione che
<lb/>hà la H L alla
<lb/>L F. La linea
<lb/>AM stessa diuiderà
<lb/>il pentagono secondo che si propone.
<lb/> Perciòche con
<lb/>la stessa ragione
<lb/>che si è fatto di sopra
<lb/>mostraremo il
<lb/>triangolo AB M al
<lb/>pentatolo AMCFG;
<lb/>ouero (come
<lb/>nell'altra figura) il
<lb/>quadrilatero ABCM al quadrilatero AMFG hauer la
<lb/>medesima, proportione, che hà la HL alla LK. Mà se poi il punto
<lb/>L cada nella FK; similmente con la linea retta AM tiratasi
<lb/>dall'angolo A, diuideremo il triangolo AFG secondo la
<lb/>proportione della FL alla LK:
<lb/>e finalmente mostraremo
<lb/>il pentagono ABCEM
<lb/>così essere al triangolo AMG,
<lb/>com'è la HL alla LK: ciò
<lb/>è com'è la D alla E.
<lb/>Pigliasi nel lato AG il
<lb/>punto L, dalquale debbia titarsi vna linea, che diuida il pentagono
<pb n= "34 recto"/>
<lb/>secondo la proportion data della D alla E.
<lb/>Congiungansi le LC, LF: & allungatasi la linea GB dalla
<lb/>parte B, facciasi per le cose di già dettesi il triangolo LHC
<lb/>eguale al quadrilatero LABC. Dopoi allungatasi la CF
<lb/>dalla parte C, facciasi il triangolo LKF eguale al
<lb/>quadrilatero LHCF, ciò è al pentagono LABCF. e di nuouo al
<lb/>lungatasi dalla parte F, facciasi il triangolo LFM eguale
<lb/>al triangolo LFG. serà tutto il triangolo LKM eguale al
<lb/>pentagono ABCFG. Il perche taglisi la KM nel punto M;
<lb/>talmenteche la
<lb/>KN alla NM habbia
<lb/>la medesima
<lb/> proportione,
<lb/>che la D alla E.
<lb/>e se il punto N
<lb/>cade nella linea
<lb/>KF ; diuideremo
<lb/>il pentagono
<lb/>LABCF con la linea retta LO: talmenteche il quadrilatero P
<lb/>ABO sia al quadrilatero OCFL: com'è la KN alla NF.
<lb/>Serà il quadrilatero LABO a pentagono OCFGL, come è la K
<lb/>N alla NM: ilche certo si dimostrerà nel medesimo modo.
<lb/>Se il punto N poi cade nella linea FM, diuideremo il
<lb/>triangolo LFG con la linea retta LO; talmenteche il triangolo
<lb/>LFO al triangolo LOG habbia la medesima proportione
<lb/>c’hà la FN alla NM. Similmente si dimostrerà l’hessagono
<lb/>LABCFO così essere al triangolo LOG, com’è la KN
<lb/>alla NM: ciò è com’è la D alla E: ilche bisognaua farsi.
<lb/>Sia l'hessagono ABCFGH, e bisogni diuiderlo con vna
<lb/>linea retta tiratasi dall'angolo A; talmenteche le parti
<lb/>habbiano la medesima proportione, che hà la D alla
<lb/>E. Congiungasi la AF & allungatasi la CF stessa
<lb/>dalľvna parte e dall'altra; facciasi il triangolo AKF
<lb/>eguale al quadrilatero A B CF; & il triangolo AFM
<pb n= "34 verso"/>
<lb/>eguale al quadrilatero AFGH per le cose dianzi
<lb/>dimostratesi Serà tutto il triangolo AKM eguale all'hessagono
<lb/>ABCGH. Taglisi adunque la KM nel punto N; talche
<lb/>sia la KN alla NM com’è la D alla E. e se il punto N
<lb/>cade sulla linea
<lb/>KF, diuideremo
<lb/>il quadrilatero |
<lb/>ABCF con vna
<lb/>linea retta tiratasi
<lb/> dall'angolo
<lb/>A; talmenteche
<lb/>le parti habbiano
<lb/>la medesima
<lb/>proportione che
<lb/>hà la KN alla NF.
<lb/>Mà se il punto
<lb/>N cada sulla FM; diuideremo il quadrilatero AFGH
<lb/>secondo la proportione della FN alla NM: e cosi l’hessagono
<lb/>ABCFGH serà diuiso secondo la proportione della
<lb/>KN alla NM: ciò è secondo la proportione della
<lb/>D alla E datasi.
<lb/>Pigliasi il punto punto L nel lato AH daquale vogliamo tirare vna
<lb/>linea retta, la quale diuida l’hessagono secondo la proportione datasi.
<lb/>Congiungasi la LF_ & al la CF; formasi
<lb/>il triangolo LKF eguale al pentagono AFCE: & il
<lb/>triangolo LEM eguale al quadrilatero LFGH; talche tutto al
<pb n= "35 recto"/>
<lb/>triangolo LKM sia eguale à tutto l'hessagono ABCFGH.
<lb/>Taglisi nuouo la KM nel punto N secondo la proportione
<lb/>della D alla B datasi: e se il punto N cade sulla linea
<lb/>KF; diuidasi il pentagono LABCF con una linea retta
<lb/>tiratasi dall'angolo L secondo la proportione della KN alla
<lb/>NF: e se cade sulla linea FM, diuidasi il quadrilatero
<lb/>LFGH secondo della FN alla NM: e serà
<lb/>tutto l’hessagono diuiso dalla linea retta tiratasi dal punto
<lb/>L secondo la proportione della KN alla NM: ciò è
<lb/>secondo la proportione della D alla E.
<lb/>Sia l'heptagono ABCFGHK, ilquale debbia diuidersi
<lb/>con vna linea retta tiratasi dall'angolo A secondo la
<lb/>proportione della D alla E. Congiungasi la AG, e facciasi il
<lb/>triangolo AMG eguale al pentagono ABCFG: & il triangolo
<lb/>AGN eguale
<lb/>al quadrilatero - -
<lb/>AGHK; talche sia
<lb/>tutto il triangolo
<lb/>AMN eguale all’
<lb/>heptagono ABCFGHK: Tagliasi la MN nel punto O secondo la
<lb/>proportione della D alla E: e se il punto O cade sulla linea MG;
<lb/>diuiderassi il. pentagono ABCFG secondo la proportione
<lb/>de la MO alla OG con la linea retta AP tiratasi __ se cade
<lb/>sulla GN; diuiderassi il quadrilatero A G H K secondo
<lb/>la proportione della GO alla ON: e serà diuiso l’heptagono
<lb/>secondo la proportione della MO alla ON.
<lb/>Piglisi vltimamente il punto L nel lato AK: e dal punto
<lb/>L habbiasi dà tirare vna linea retta che diuida l'heptagono
<lb/>secondo la proportion datasi. Congiungasi la LG;
<lb/>_ formisi il triangolo LMG eguale all hessagono LABC
<lb/>EG: & il triangolo LGN eguale al quadrilatero LGHK;
<pb n= "35 verso"/>
<lb/>talche tutto il triangolo LMN sia eguale all’heptagono A
<lb/>BCFGHK. Taglisi di nuouo la MN secondo la proportione
<lb/>datasi nel punto O: e se esso cade sulla linea MG
<lb/>diuideremo l’hessagono secondo la proportione della MO
<lb/>alla OG. Mà se cade sulla GN;
<lb/>diuideremo il quadrilatero
<lb/>secondo
<lb/>la proportione della GO alla
<lb/>ON: e serà tutto
<lb/>l'heptagono diuiso secondo la
<lb/>proportione della MO alla ON: ciò è secondo la proportione
<lb/>datasi della D alla E. e nel medesimo modo
<lb/>procederemo nell'altre figure, contengano pure quanti lati
<lb/>ouero angoli si vogliano: ilche bisognaua farsi.
<lb/>PROBLEMA II.
<lb/>Diuidere vna figura rettilinea secondo vna
<lb/>data proportione con vna linea retta
<lb/>equidistante ad vn'altra data linea retta.
<lb/> Sia il triangolo ABC; e
<lb/>la linea retta sia data D: e
<lb/>bisogni diuidere il triangolo secondo la proportione della E alla F
<lb/>con vna linea retta equidistante ad essa D. Taglisi la BC nel punto
<lb/>G; talmenteche la BG alla GC habbia la medesima Proportione che la E
<pb n= "36 recto"/>
<lb/>alla F. ò che adunque la D è equidistante ad vno de’ lati
<lb/>del triangolo; ò non è equidistante à veruno. Sia prima
<lb/>equidistante al lato AB: e piglisi la CH mezzana proportionale
<lb/>frà le linee BC, CG: e dal punto H tirisi la HK
<lb/>equidistante ad essa BA. Dico la linea retta H K diuidere
<lb/>il triangolo secondo che si propone. Peròche congiuntasi
<lb/>la AG; serà il triangolo ABG al triangolo AGC, com'è
<lb/>la B G alla GC: ciò è com'è la E alla F: e componendo
<lb/>serà il triangolo ABC ad esso AGC, com'è la BC alla CG.
<lb/>Mà com'è la B C alla CG; così è il triangolo ABC al triangolo
<lb/>KHC per la 19 del
<lb/>sesto degli elementi: perciòche
<lb/>i triangoli ABC; KHC
<lb/>sono simili: e la BC alla
<lb/>CG hà dupla proportione
<lb/>à quella che è della B C alla
<lb/>CH. onde il triangolo KHC
<lb/>è vguale al triangolo
<lb/>A GC: & il quadrilatero restante ABHK e vguale al triangolo
<lb/>ABG. Il quadrilatero ABHK adunque hà la medesima
<lb/>proportione al triangolo KHC; che il triangolo AB
<lb/>G al triangolo AGC, ciò è che hà la E alla F. Similmente
<lb/>si dimostrerà il medesimo quando la linea D serà
<lb/>equidistante al lato BC, ò CA.
<lb/> Che se non sia equidistante
<lb/>à veruno; tirisi la
<lb/>AL equidistante ad essa
<lb/>D. Onde ouero il punto
<lb/>G cade frà i punti L, e
<lb/>C: ouero frà gli B & L.
<lb/>Che se frà gli L, & C; piglisi
<lb/>la CM mezzana proportionale
<lb/>frà le linee
<lb/>LC, CG: e tirisi la MN
<pb n= "37 verso"/>
<lb/>equidistante alla AL. Serà per le cose che dianzi
<lb/>dimostrammo il triangolo NMC eguale al triangolo AGC: &
<lb/>il quadrilatero ALMN al triangolo ALG. Ilperche
<lb/>aggiuntosi all'uno & all’
<lb/>altro il triangolo ABL
<lb/>commune; il quadrilatero
<lb/>ABMN è vguale al
<lb/>triangolo ABG: e perciò
<lb/>il quadrilatero AB
<lb/>MN al triangolo NMC
<lb/>hà la medesima proportione
<lb/>che hà la E alla F.
<lb/>Se poi il punto G cade frà i punti B & L; piglisi di nuouo
<lb/> la BM mezzana proportionale frà le linee L B, BG: e
<lb/>tirisi la MN equidistante ad essa AL. Per la medesima
<lb/>ragione il triangolo NBM,
<lb/>serà eguale al triangolo A
<lb/>BG: & il quadrilatero
<lb/>ANML al triangolo AGL.
<lb/>Aggiuntosi adunque all'
<lb/>uno & all'altro il triangolo-
<lb/>AL C; il quadrilatero
<lb/>ANMC è uguale al triangolo
<lb/>AGC. Il triangolo A
<lb/>BC aduque si diuide secondo la proportione datasi con
<lb/>vna linea retta equidistante ad essa D: ilche bisognaua
<lb/>farsi.
<lb/>Sia il quadrilatero A B CG, il quale debbia diuidersi
<lb/>secondo la proportione che hà la E alla F, con vna linea
<lb/>retta equidistante ad essa D. Onde ouero la D è equidistante
<lb/>ad alcuno de’ lati del quadrilatero; ouero non è
<lb/>equidistante. Sia prima equidistante al lato AB: e congiuntasi
<lb/>la AC tirisi dal punto G la GH equidistante ad essa AC,
<lb/>la quale concorra con la linea B C allungatasi nel punto
<pb n= "38 recto"/>
<lb/>H: e congiungasi la AH. Il triangolo ACH adunque
<lb/>per le cose di già dettesi è vguale al triangolo ACG: &
<lb/>aggiuntosi all'uno & all'altro lo A B C commune serà il
<lb/>triangolo ABH eguale al quadrilatero ABCG. Taglisi la
<lb/>BH nel punto K; talmenteche la BK alla KH habbia la
<lb/>medesima proportione che la E alla F: e congiungasi la
<lb/>AK. Ouero adunque il lato CG del quadrilatero è
<lb/>equidistante ad esso BA; ò nò: e se sia equidistante cada
<lb/>come si voglia
<lb/>il punto K;
<lb/>applichisi per la 10 del libro
<lb/>precedente alla linea AB la
<lb/>superficie A B
<lb/>ML eguale
<lb/>al triangolo ABK; talmenteche la linea LM sia equidistante
<lb/>ad essa AB. Dico la LM fare il problema. Perciòche
<lb/>essendo il triangolo ABH eguale al quadrilatero ABCG:
<lb/>& il triangolo ABK al quadrilatero ABML; serà il triangolo
<lb/>AKH restante eguale al quadrilatero restante LMC
<lb/>G. Il quadrilatero A B M L adunque è al quadrilatero.
<lb/>LMCG, com'e il triangolo A B K al triangolo AKH. Mà
<lb/>il triangolo ABK ad esso AKH è come la BK Alla HK,
<lb/>ciò è come la E alla F. Adunque il quadrilatero ABML
<lb/>al quadrilatero LMCG è come la E alla F.
<lb/>Se il lato CG poi non è equidistante al lato B A; tirisi
<lb/>la uno de’ duo punti C, G. dentro al quadrilatero una
<lb/>linea retta equidistante ad essa BA; e sia hora la CN: e dal
<lb/>punto N tirisi la NO equidistante alla AC, e congiungasi
<lb/>la AO. serà il triangolo ABO eguale al quadrilatero AB
<lb/>CN. Se adunque il punto K caderà nel punto O, la linea
<lb/>CN sarà il problema. Perciòche serà il quadrilatero AB
<pb n= "38 verso"/>
<lb/>CN al triangolo
<lb/>CNG,
<lb/>com’è il triangolo
<lb/> ABO al
<lb/>triangolo AOH:
<lb/>ciò è come
<lb/>la BK alla K
<lb/>H, e come la
<lb/>E alla F
<lb/>Che se il punto K cada frà i punti B, O applicheremo
<lb/>per la 10 souradetta alla linea AB vna superficie eguale al
<lb/>triangolo ABK: la quale sia ABML; talmenteche la linea LM
<lb/>sia essa AB: la quale similmente dimostraremo
<lb/>diuidere il quadrangolo A BCG come si proponeua.
<lb/>Finalmente se cada frà i punti O, H: diuideremo con
<lb/>la linea PQ equidistante ad essa NC, il triangolo NCG
<lb/>secondo la proportione che hà la OK alla KH: ciò è quella
<lb/>che hà il triangolo
<lb/>AOK al triangolo AKH.
<lb/>Et essendo
<lb/>il triangolo
<lb/>NCG eguale
<lb/>al triangolo
<lb/>ᎪOH; serà
<lb/>la superficie
<lb/>NCQ P eguale al triangolo AOK: & il triangolo
<lb/>PQG eguale al triangolo AKH. Il pentagono
<lb/>ABCQP adunque è vguale al triangolo ABK: & hà la
<lb/>medesima proportione al triangolo PQG, che hà la BK
<lb/>alla KH: ciò è che hà la E alla F
<lb/>Nel medesimo modo otteremo l'intento, se dal punto
<lb/>G si tiri dentro al quadrilatero la G N equidistante
<lb/>ad essa AB: come appare nell'altra figura. Perciòche congiuntesi
<pb n= "39 recto"/>
<lb/>le AN, A C: e tiratasi la GO dal punto G,
<lb/>la quale sia equidistante ad essa AN: e tiratasi la GH, la quale
<lb/>sia equidistante alla AC: & vltimamente congiuntesi le
<lb/>A O AH; serà il triangolo ABO eguale al quadrilatero
<lb/>ABNG, & il
<lb/>triangolo AB
<lb/>H eguale al
<lb/>quadrilatero
<lb/>ABCG. e se il
<lb/>punto K caderà
<lb/>nel punto O,
<lb/>la linea retta
<lb/>NG sarà il problema.
<lb/>Se frà
<lb/>gli B, O faremo
<lb/>nel medesimo modo
<lb/>detto di sopra. Che se frà gli O, H tagliaremo dal triangolo
<lb/>GNC la superficie GNQP eguale al triangolo AOK
<lb/>tiratasi la PQ equidistante ad essa GN. e serà di già fatto
<lb/>quello che si proponeua. Mà se la D non sia equidistante
<lb/>ad alcuno de’lati del quadrilatero ABCG; tirisi da vno
<lb/>de’duo punti A, B dentro al quadrilatero vna linea retta
<lb/>equidistante ad essa D. e sia prima la AH: e congiuntasi la
<lb/>AC tirisi del punto G la GL equidistante ad essa A C-
<pb n= "39 verso"/>
<lb/>la quale concorra nel punto L con la BC allungatasi: e
<lb/>congiungasi la A L. serà il triangolo ABL eguale al
<lb/>quadrilatero ABCG. Diuidasi la BL nel punto K; talmenteche
<lb/>la B K alla KL habbia quella proportione, che hà
<lb/>la E alla F. Ouero adunque il punto K cade nel punto H,
<lb/>ouero frà gli H, L, ò frà gli B, H. e se cade nel punto H, la
<lb/>linea retta AH farà il problema. Mà se cade frà gli H, L
<lb/>per le cose poco hà dimostratesi diuideremo il quadrilatero
<lb/>AHCG secondo la proportione che hà la H K alla
<lb/>KL, con la linea MN equidistante ad essa AH, ciò è equidistante
<lb/>ad essa D: la quale certo diuiderà il quadrilatero
<lb/>ABCG come si propone. Perciòche essendo il triangolo
<lb/>ABH al triangolo AHK, com'è la BH alla HK; serà componendo
<lb/>il triangolo ABK al triangolo AHK, com'è la
<lb/>BK alla KH. Mà il triangolo AHK al triangolo AKL è come
<lb/>la HK alla KL. Adunque per l’egual proportionalità
<lb/>il triangolo ABK al triangolo AKL, è come la BK alla KL,
<lb/>Mà al triangolo ABK è vguale il quadrilatero ABNM,
<lb/>& al triangolo AKL eguale il quadrilatero MNCG. Il
<lb/>quadrilatero ABNM adunque al quadrilatero MNC G è come
<lb/>la B K alla KL ciò è come la E alla F.
<lb/>Finalmente se il punto K cada frà gli B, H; tiratasi la AK
<lb/>taglieremo dal triangolo ABH la superficie AQPH eguale
<lb/>al triangolo AKH con la linea retta O P equidistante ad
<lb/>essa AH. Serà il triangolo restante OBP eguale al triangolo
<pb n= "40 recto"/>
<lb/>ABK restante. Adunque il triangolo OBP è al pentagono
<lb/>AOPCG come il triangolo ABK al triangolo AKL a
<lb/>ciò è come la BK alla KL: ciò è come la E alla F.
<lb/> Se poi la BH tiratasi sia equidistante ad essa D; pongasi
<lb/>il triangolo HQB eguale al triangolo ABH: & il triangolo
<lb/>HBL eguale
<lb/> al quadrilatero
<lb/>HBCG: e diuisasi
<lb/>la QL
<lb/> secondo
<lb/>la proportione
<lb/>della
<lb/>E alla F
<lb/>nel punto
<lb/>K: se il K cade nel punto B, la linea B H sarà il problema.
<lb/>Se frà gli B, L, ò Q, B saremo nel medesimo modo
<lb/>che s'è detto di sopra.
<lb/>Che
<lb/>se la AC
<lb/>congiuntasi
<lb/>sia
<lb/>equidistante
<lb/>ad essa
<lb/>D, porremo
<lb/>il triangolo
<lb/>AOL eguale
<lb/>al triangolo ACG. e diuisasi la BL nel punto K
<lb/>secondo la proportion data della E alla F; se il punto K
<lb/>cade nel punto C; la linea AC farà il problema.
<lb/>Se frà gli CL taglieremo dal triangolo ACG la superficie
<lb/>ACNM eguale al triangolo ACK, tiratasi la M N
<lb/>equidistante ad essa AC. e se frà gli B, C; taglieremo dal
<lb/>triangolo A B C vna superficie eguale al triangolo AKC:
<lb/>ciò è la ACNM con la linea retta M N equidistante
<pb n= "40 verso"/>
<lb/>ad essa AC: e similmente dimostraremo il quadrilatero
<lb/>A B C G essersi diuiso secondo la proportione della
<lb/>E alla F: il che bisognaua farsi. Ne altremante procederemo
<lb/>se la B G congiuntasi sia equidistante ad essa D.
<lb/>Sia il pentagono A B C GH: e bisogni diuiderlo
<lb/>secondo la proportione della E alla F con vna linea retta
<lb/>equidistante ad essa D. Tirisi da qualche punto, ò angolo,
<lb/>ò lato, a la base vna linea retta equidistante ad essa D;
<lb/>talmenteche ò tagli dall'vna parte e dall'altra vn quadrilatero;
<lb/>ò da vna vn quadrilatero dall'altra vn triangolo. e
<lb/>porremo per base del pentagono qual si voglia lato
<lb/>commodo alla linea D. Come nella prima tirisi dal
<lb/>punto H la linea retta HI equidistante ad essa D. e congiuntesi
<pb n= "41 recto"/>
<lb/>le HB, HC, tirisi dal punto A la AK equidistante
<lb/>ad essa HB: la quale concorra con la CB allungatasi nel
<lb/>punto K. Dal punto G poi tirisi la GL equidistante alla
<lb/>HC, e concorrente nel punto L con la B C allungatasi : е
<lb/>congiungansi le HK, KL. Serà il triangolo HKI eguale al
<lb/>quadrilatero ABIH: & il triangolo HIL al quadrilatero
<lb/>HICG, e tutto il triangolo HKL eguale à tutto il pentagono.
<lb/>Diuidasi la KL
<lb/>secondo la proportione
<lb/>della E alla F.
<lb/>nel punto M. Ilperche
<lb/>ò il punto M cade
<lb/>nel punto I, ò frà
<lb/>gli K, I ò frà gli I, L.
<lb/>e se nello I, la linea
<lb/>retta H I sarà il problema.
<lb/>perciòche il
<lb/>quadrilatero ABIH
<lb/>al quadrilatero H I C G
<lb/>è come il triangolo HK_ al triangolo
<lb/> HIL: ciò è com’è la KI alla IL: ciò è come la E alla F.
<lb/>Se cade poi frà i punti K, I, diuideremo per le cose di
<lb/>già dimostratesi il quadrilatero ABIH secondo la proportione
<lb/>della KM alla MI, con la linea retta N O equidistante
<lb/>ad essa HI. e se cade frà i punti I, L; similmente diuideremo
<lb/>il quadrilatero HICG secondo la proportione della IM
<lb/>alla ML, tiratasi la NO equidistante ad essa HI: e la
<lb/>NO diuiderà il pentagono A BCG H secondo la proportion
<lb/> datasi: ilche dimostraremo nel medasimo modo
<lb/>di sopra.
<lb/>Oltra di questo nell'altra figura, nella quale la HC è
<lb/>equidistante alla linea D: congiuntasi la HB; pongasi il
<lb/>triangolo HKB eguale al triangolo HAB: & il triangolo
<pb n= "42 verso"/>
<lb/>HCL eguale al triangolo HCG. serà il triangolo HKC
<lb/>eguale al quadrilatero ABCH: e tutto il triangolo HKL
<lb/>eguale à tutto il pentagono ABCGH Onde diuisasi la K
<lb/>L secondo la proportione della E alla F nel punto M; se
<lb/>il punto M cade nel punto C; la linea HC farà quello che
<lb/>si propnone. se frà i punti K, C diuideremo il quadrilatero
<lb/>A BCH secondo la proportione della KM alla MC. Se
<lb/>poi frà i punti C, L diuideremo il triangolo HCG secondo
<lb/>la proportione della C M alla ML: e serassi diuiso il
<lb/>pentagono secondo la proportion datasi.
<lb/>Ne altramente
<lb/>farassi
<lb/>se la linea HB
<lb/>sia equidistante
<lb/>ad essa D:
<lb/>Perciòche
<lb/>formerassi il
<lb/>triangolo HKB eguale al
<lb/>triangolo HAB,
<pb n= "43 recto"/>
<lb/> & il triangolo H BL eguale al quadrilatero HBCG.
<lb/>Ilperche se il punto M cade nel punto B; la linea H B farà
<lb/>quello che si proponeua. Se frà i punti KB, diuiderassi il
<lb/>triangolo HA B secondo la proportione della KM alla M
<lb/>B. Che se cade frà gli B, L; diuideremo il quadrilatero
<lb/>HBCG secondo la proportione della BM alla M E : e serà
<lb/>fatto quello che bisognaua.
<lb/>Vltimamente se la BP sia equidistante ad essa D, come
<lb/>nell'altra figura; porremo il triangolo PKB eguale al
<lb/>quadrilatero PHAB, & il triangolo PBL al quadrilatero
<lb/>PBCG. e se il punto M cade nel punto B; essa BP farà quello
<lb/>che si propone. Se frà i punti K, B diuideremo il
<lb/>quadrilatero PH
<lb/>AB secondo la proportione della KM alla MB. Che se frà i punti
<lb/>B,L; diuideremo il quadrilatero PBCG secondo la proportione della
<lb/>BM alla BL: & il simile faremo negli altri pentagoni e di già serassi
<lb/>fatto quello che faceua dibisogno.
<lb/>Sia l’hessagono ABCGH_ : e bisogni diuidero
<lb/>secondo la proportione della E alla F con vna linea retta
<lb/>equidistante ad essa D. Tirisi da qualche punto alla
<lb/>base vna linea retta equidistante ad essa D; talmenteche
<lb/>tagli ò vn quadrilatero, ò vn pentagono
<pb n= "43 verso"/>
<lb/>dall'vna e dall'altra parte; ouero da vna parte vn triangolo,
<lb/> ò vn quadrilatero, e dall'altra poi vn pentagono: Come
<lb/>nella prima figura propostasi; tirisi dal punto A la linea
<lb/>retta AK equidistante ad essa D, e formisi il triangolo
<lb/>ALK eguale al quadrilatero ABCK : Al pentagono poi
<lb/>KG H I A eguale il triangolo AKM. Dopoi diuidasi la
<lb/>linea LM secondo la proportione della E alla F nel punto
<lb/> N: ilquale ouero caderà nel punto K, ò frà i punti L,
<lb/>K, ò sià i punti , M. Se caderà nel punto K; la linea
<lb/>retta A K farà il problema. Se frà i punti L, K diuideremo il
<lb/>quadrilatero ABCK secondo la proportione della LN alla N
<lb/>K con la linea OP equidistante alla AK. se frà i punti K, M
<lb/>per le cose dianzi dimostratesi diuideremo il pentagono
<lb/>AKGHI secondo la proportione della KN alla NM con
<lb/>la linea retta OP equidistante ad e se AK.
<pb n= "44 recto"/>
<lb/>Se poi la AG tiratasi sia equidistante ad essa D; di nuouo
<lb/>formaremo il
<lb/>triangolo ALG
<lb/>eguale al
<lb/>quadrilatero ABCG: & il
<lb/> triangolo
<lb/>A G M al
<lb/>quadrilatero
<lb/> AGHI: e faremo
<lb/>il resto come s'è detto molte volte.
<lb/>Che
<lb/>se la R
<lb/>K sia equidistante ad essa D;
<lb/>formaremo il triangolo RLK eguale al pentagono RABCK &
<lb/>il triangolo RKM eguale al pentagono KGHIR.
<lb/>Vltimamente se la AC tiratasi sia equidistante ad essa D
<lb/>formaremo il triangolo ALC eguale al triangolo A B C:
<lb/>& il triangolo ACM eguale al pentagono ACGHI: e
<lb/>faremo il resto come si è fatto di sopra, e serassi diuiso l'hessagono
<pb n= "44 verso"/>
<lb/>come bisognauaua.
<lb/>Sia l'haptagono
<lb/>ABCᏀᎻIK
<lb/>il quale
<lb/>habbia
<lb/>da diuidersi
<lb/>secondo la
<lb/>proportione della E alla F, con vna linea equistante ad essa
<lb/>D. Tirisi da qualche punto alla base vna linea retta equidistante
<lb/>ad essa D. la quale ò tagli vn pentagono dall'vna parte
<lb/>e dall'altra; ò da vna parte vn triangolo, ò vn quadrilatero,
<lb/>ò vn pentagono,
<lb/>e dall'altra
<lb/>poi vn’hessagono;
<lb/>ouero da
<lb/>vna vn quadrilatero, dall’altra vn pentagono. Come nella prima figura, nella
<lb/>quale
<lb/>la L M è equidistante ad essa D; formaremo il
<lb/>triangolo LNM eguale al pentagono LABCM: & all’
<lb/>hessagono LMGHIK eguale il triangolo LMO: e
<lb/>taglisi la NO secondo la proportione della E alla F nel punto P:
<lb/>se il punto P cade nel punto M; la linea retta LM farà il problema.
<pb n= "45 recto"/>
<lb/>Se frà i punti NM; similmente diuideremo il pentagono
<lb/> LABCM secondo la proportione della N P alla
<lb/>PM con la linea retta Q R equidistante ad essa LM. Se poi
<lb/>frà i punti M, O; diuideremo per le cose dette _ di sopra
<lb/>l'hessagono LMGHIK secondo la proportione della
<lb/>MP alla PO con vna linea retta equidistante ad essa LM.
<lb/>Che se la linea L C tiratasi sia equidistante ad essa D;
<lb/>formaremo il triangolo LNC eguale al quadrilatero LA
<lb/>BC, & il triangolo LCO eguale all'hessagono LCGHIK,
<lb/> e faremo il resto si come si è fatto di sopra: e serà l'heptagono
<lb/>diuiso come bisognaua: & il simile faremo ne gli altri
<lb/>heptagoni.
<lb/>Nel medesimo modo diuideremo l'altre figure rettilinee
<lb/>ancora secondo vna data proportione habbiansi quanti lati
<lb/> si vogliano con una linea equidistante ad una data
<lb/>linea retta: il che n’era proposto da farsi. -
<lb/>IL FINE.
</body>
</text>
</TEI>
